Antall ledd i rekken

[ThomasSkas]

Hei!
Jeg driver på med potensrekker nå for tiden, og jeg driver da på med denne oppgaven:

Hvor mange ledd i rekken

[tex]S=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{5(-1)^n}{6^n}[/tex]

må vi ta med for å estimere summen S med en feil mindre enn 0.002?
Det endelige svaret du kommer frem til skal være et positivt heltall.

Hvordan skal man resonnere her? Skal man gå frem for å finne summen, og deretter omskrive uttrykket?

Eller det meningen at jeg skal sette summen av rekken < 0.002 for å finne antall ledd n i rekken?

[Nebuchadnezzar]

Definer $S_n = 5 \sum_{k=0}^n \left( - \frac{1}{6} \right)^n$

Du ønsker å bestemme $n$ slik at $|S - S_n| < 0.002$

[ThomasSkas]

Definer $S_n = 5 \sum_{k=0}^n \left( - \frac{1}{6} \right)^n$

Du ønsker å bestemme $n$ slik at $|S - S_n| < 0.002$

Jeg beregnet summen til å bli 30/7. Skal det brukes i den ulikheten?

[ThomasSkas]

Jeg skal prøve noe annet nå. vent litt! Et forsøk til.

[ThomasSkas]

Ok, etter det jeg har studert i boka gjelder

[tex]|S-S_{n}|\leq |S_{n+1}-S_{n}|=|a_{n+1}|[/tex]

Så, da tror jeg at jeg kan skrive dette om til:

[tex]\frac{1}{6^{n+1}}<0.002[/tex]

[tex]\frac{1}{0.002}<6^{n+1}\Leftrightarrow 2000<6^{n+1}\Rightarrow n<3.24[/tex]

Avrundet til n < 4.

Har du noen tanker til dette?

[Nebuchadnezzar]

$S$ betegner hele summen ja og som du har kommet frem til så er

$
S = \sum_{k=0}^\infty 5 \left( - \frac{1}{6} \right)^k = \frac{30}{7}
$

Dermed har du som du skriver $|30/7 - S_n| < 0.002$, herfra er det bare å prøve å sette inn ulike $n$, verdier til du får det ønskede resultatet.
Både casio og andre kalkulatorer har en tabellfunksjon. Altså du regner ut $|30/7 - S_n|$ på maple får jeg noe allà

http://i.imgur.com/ORcDana.png

Men på en kalkulator er det kanskje enklere å bruke at summen av en endelig geometrisk rekke er kjent. Ulikheten du bruker går fint ann å bruke
men merk at den bare gjelder for alternerende rekker, og at du ofte ikke vil få et like godt estimat som å bare regne ut den faktiske feilen. Noen ganger
er det dog mye enklere å bare se på det n'te leddet.