Lagrange

[Lagrange]

Jeg har nettopp begynt med Lagrange multiplikatorer, og får ikke til oppgave nr. 1 i boka!

Use Lagrange to maximize x[sup]3[/sup]y[sup]5[/sup] to x+y=8

L(x,y,l) = f(x,y) + l*g(x,y) = x[sup]3[/sup]y[sup]5[/sup] + l*(x+y-8)

Søker etter kritiske punkt

[part][/part]L/[part][/part]x = 3x[sup]2[/sup]y[sup]5[/sup] + l = 0
[part][/part]L/[part][/part]y = 5y[sup]4[/sup]x[sup]3[/sup] + l = 0
[part][/part]L/[part][/part]l = x + y - 8 = 0

Hva gjør jeg så?

[ingentingg]

Så løyser du det likningsettet du har fått:

fra likn 1 og 2 får vi:

3x^2y^5 = 5y^4x^3.

Ser at x = 8 og y = 0, og y = 8 og x = 0 er en løsning. (Setter inn x og y = 0 i likningen.)

Kan deretter forkorte vekk x og y og får:

3y = 5x

Setter inn bibetingelsen: x = 8-y

3y = 40 - 5y
y = 5. , gir x = 3.

3 mulige løsninger. (0,8), (3,5) og (8,0)

Ser at f(0,8) = f(8,0) = 0 er et minimum og
f(3,5) = 3^3*5^5 er et maksium

[Heisenberg]

Hei,-

Vi skal finne x,y koordinatpar for de kritiske punktene. Du ser du ender ut med tre likninger i tre ukjente nedenfor. Jeg refererer til disse som likning 1, likning 2 og likning 3. Du må løse disse for x, y og l.

3x^2y^5-5y^4x^3=0
x^2y^4(3y-5x)=0 *

denne er oppfylt for x=0, y=0.
Vi kan da få koordinatparrene

(0, 8) og (8,0)

Grunnen til at jeg får 8 er at likning 3 også må være oppfylt.
Likning * har også en annen mulig løsning, nemlig

3y-5x=0

Hvis vi løser likning 3 mhp x fås

3y=5(8-y)
y=5, noe som gir x=3.

Dermed har vi enda et koordinatpar som kandidat for max/min.
(3,5).

Ved å sette inn de tre koordinatparrene i funksjonen f(x,y) finner vi den med største verdien som maksimum.

Ble du noe klokere?

f(3,5)=84375 er da maks gitt bibetingelsen x+y=8.

[Lagrange]

Ja, takk, det var oppklarende.