Difflikninger

[sletvik]

Når jeg skal finne den partikulære løsningen på en inhomogene likning, f.eks. y'' + y' + 3y = 5xe^(2x) er fremgangsmåten slik at man "prøver" å finne et uttrykk som blant annet inneholder koeffisienter for det som står på høyresiden, men hvordan vet jeg hvordan dette uttrykket skal se ut? Spekulerer....

[oro2]

Hvis høyresiden er et polynom prøver du med en løsning der du tar med alle grader opp til den høyeste som er med.
eks. hvis høyresiden var 14x[sup]3[/sup] blir y[sub]p[/sub] på formen ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx + d

Hvis høyresiden inneholder leddet ce[sup]kx[/sup] tar du med leddet ae[sup]kx[/sup] i y[sub]p[/sub] (der k og c er gitte konstanter)
Hvis høyresiden inneholder leddet c*sin(kx) tar du med leddene a*cos(kx) + b*sin(kx) i y[sub]p[/sub] (der k og c er gitte konstanter)
Hvis høyresiden inneholder leddet c*cos(kx) tar du med leddene a*cos(kx) + b*sin(kx) i y[sub]p[/sub] (der k og c er gitte konstanter)

Hvis dette ikke gir en løsning når du setter inn for y[sub]p[/sub]'', y[sub]p[/sub]' og y i differensialligningen, multipliserer du y[sub]p[/sub] med x og prøver igjen (maks to ganger, y[sub]p[/sub] -> x[sup]2[/sup]y[sub]p[/sub]). Hvis et ledd i på høyresiden(i diff.lign) er en løsning av den assosierte homogene ligningen (y[sub]h[/sub]) kan du multiplisere med x med en gang, så sparer du litt tid.

[Gjest]

Men hva hvis det foreligger en blanding av ulike elementer på høyre side, f.eks. 3x[sup]2[/sup] * e[sup]2x[/sup] + 5x - sin 2x
Hvordan begynner man å tenke her? Hva er det første man legger merke til?

[oro2]

Jeg vet ikke helt hvordan det er hvis man har produkt av ulike typer, men hvis vi har for eksempel C[sub]1[/sub]e[sup]kx[/sup] + C[sub]2[/sub]x, blir det:
y[sub]p[/sub] = Ae[sup]kx[/sup] + Bx + C (C[sub]1[/sub], C[sub]2[/sub] og k er konstanter)
Det er fordi ligningen er lineær.


EDIT: endret feil