Rekker

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg er så freidig at jeg kaller tråden for rekker slik at jeg eventuelt kan samle andre oppgaver her og ikke spamme ned forumet med mange tråder i tilfelle det blir flere.

Starter med en tekstoppgave:

En ball slippes fra 10 meters høyde. Hver gang den treffer bakken, spretter den opp til 80% av den foregående høyden. Hvor lang strekning tilbakelegger den i alt (når vi regner både ned og opp med pluss)? Hvor lang tid tar det før ballen er i ro? Tyngdens akselerasjon er 9,8 m/s^2. Vi ser bort fra luftmotstand.

Jeg starter med å skrive ut følgende rekke som et uttrykk strekningen:

[tex]10 + 8 + 8 + 6,4 + 6,4 + 5,12 + 5,12 +...=10 + 16 +12,8 +10,24 + ...[/tex]

Så var det kvotienten da. Kan man sette [tex]a_{o}=10[/tex] som en uavhengig startbetingelse? For resten ser kvotienten da ut til å være [tex]r=0,8[/tex] og leddene i følgen er gitt ved formel [tex]a_{k}=(10r^{n})2=20r^n[/tex].

Dette ser ut til å stemme for alle ledd utenom det første. Er det her feilen ligger eller kan første ledd gis som en uavhengig startbetingelse slik jeg har tenkt?

For en geometrisk følge skal jo da summen (når r<1) bli [tex]\frac{a_{o}}{1-r}[/tex] som blir 50 med r = 0,8.

Men fasit sier 90 m.

Hva har jeg gjort feil? Er det den formelen som blir ugyldig på grunn av startbetingelsen og at første ledd ikke er gyldig for r? Ser nemlig at hvis man gjør a1/(1-r) = 80 + a0 = 10 m får man jo 90 m.

Hmmm...

Har enda ikke sett på tidsspørsmålet, men regner med jeg må lete opp en gammel fysikkbok.

[Guest]

Teknisk sett vil jo ballen sprette i det uendelige og aldri stoppe ettersom det ikke virker noen krefter til å hindre bevegelsen og 80% av selv noe veldig lite er alltid noe.

Uansett, du kan helt korrekt skille $a_0$ fra resten av rekken og heller bare plusse den på siden. Husk derimot at da vil $a_0$ være 16 og ikke 10

Angående tiden så opererer vi med konstant akselerasjon (9.81) pga. ingen drag krefter (luftmotstand) så kanskje du kan bruke en slik fin vei formel?
*cough* $s = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$ *cough*

[Johan Nes]

Takker og bukker!

Uansett, du kan helt korrekt skille $a_0$ fra resten av rekken og heller bare plusse den på siden. Husk derimot at da vil $a_0$ være 16 og ikke 10

Hvis a0 = 16, hva er da 10?

[Guest]

Takker og bukker!

Uansett, du kan helt korrekt skille $a_0$ fra resten av rekken og heller bare plusse den på siden. Husk derimot at da vil $a_0$ være 16 og ikke 10

Hvis a0 = 16, hva er da 10?

ikke en del av rekken

[Fysikkmann97]

Jeg fikk denne oppgaven, iallefall den uendelige rekken på en prøve ifjor.

I starten faller den 10 meter, men ikke opp igjen 10 meter. Det første fallet er ikke en del av den uendelige rekken fordi den kvotienten som vil brukes ikke vil bli korrekt. Det uttrykket jeg brukte, som jeg fant mest praktisk var å bruke sumformelen for uendelig rekke som om den spratt opp, og deretter ned 10 meter, for så å trekke fra de 10 meterene:

$S = \frac {a_1}{1 - k} - a_1 = \frac {20}{1 - 0,8} - 10 = 90$

Feilen din ligger i at du bare har glemt at man må regne med at den beveger seg opp og ned, samt du må trekke fra den første strekningen, som da er $a_1$.

[Johan Nes]

Takk for svar til begge to!

Om jeg forstår gjest rett, nå, så eksluderer man rett og slett 10m fra rekken, ettersom det leddet bryter med mønsteret i resten av rekken.

Den faller nemlig 10 meter kun en gang, mens for alle andre lengder både spretter og faller den samme lengde opp og ned. Ekskluderer man da 10, så starter rekken med a0 = 8 +8 = 16, a1 = 6,4 + 6,4 = 12,8.

Dvs 8 + 8 + 6,4 + 6,4 + ...

Men det blir rett slik du også har tenkt, Fysikkmann.

For trøtt (og syk) til å fullføre nå, men satser på vedlagte fysikkformel får meg i mål på siste del.

[Fysikkmann97]

Ang. formelen så er $v_0$ startfarten, og siden den blir sluppet, så er starfarten null. Formelen kan derfor forenkles til $ s = \frac 12at^2$.

[Johan Nes]

Ang. formelen så er $v_0$ startfarten, og siden den blir sluppet, så er starfarten null. Formelen kan derfor forenkles til $ s = \frac 12at^2$.

Korrekt. Og dermed [tex]t = \sqrt{\frac{2s}{a}}[/tex].

Prøvde å sette inn hele strekningen, 90 m, men fikk da feil svar. Skal være 25,6 sekund.

Er man nødt å lage et nytt uttrykk/rekke hvor denne formelen brukes for hvert ledd i rekken? Pusler litt med det nå.

[Johan Nes]

Tror jeg fant det ut:

Leddet med 10 m: [tex]t= \sqrt{\frac{2*10}{9,8}}=1,428571429[/tex]

Ledd [tex]a_{o}=16=8+8=t_{0}=2\sqrt{\frac{2*8}{9.8}}=2\sqrt{\frac{16r^{0}}{a}}[/tex]

Orker ikke skrive ut neste ledd, men det viser seg at kvotienten blir [tex]r=\frac{\sqrt{16*0.8^1}}{\sqrt{16*0.8^0}}[/tex]

Som gir sum s = 24,20610273 + 1,428571429 (leddet med 10 m) = 25,6 s.

Og det skulle vel være rett?

[Johan Nes]

Innser at den kvotienten selvsagt kan forenkles til [tex]r=\sqrt{0.8}[/tex]. Og det er jo noe penere.

Men ellers skulle det vel være rett?

[Guest]

Innser at den kvotienten selvsagt kan forenkles til [tex]r=\sqrt{0.8}[/tex]. Og det er jo noe penere.

Men ellers skulle det vel være rett?

Ser sånn ut ja. Godt jobbet.

[Johan Nes]

Innser at den kvotienten selvsagt kan forenkles til [tex]r=\sqrt{0.8}[/tex]. Og det er jo noe penere.

Men ellers skulle det vel være rett?

Ser sånn ut ja. Godt jobbet.

Thanks, dude!

Deilig når man finner ut av ting på egenhånd, men var vel egentlig en ganske enkel oppgave når det komme til stykket.

[Guest]

Hvis det faktisk var universitetet så var den nok litt enkel ja, men ikke så veldig mye.
Dette er typisk vanskelighetsnivå på en litt utfordrende videregående oppgave eller for nybegynnere på universitetet. Det som gjør den litt ekstra vanskelig er at du faktisk må tenke litt gjennom hvordan ballen beveger seg for å løse den. Du må skjønne at ballen beveger seg to ganger hver lenge utenom den første. Det holder ikke å bare smashe tall inn i formler og håpe at det går bra så "lett" er den nok ikke. I alle fall er den ikke så lett om man sammenligner med andre tilsvarende oppgaver.
Om du synes oppgaven var lett sier nok det litt mer om nivået ditt enn oppgaven . Alt er lett når man skjønner det ^^

[Johan Nes]

Det er matematikk 2000 på ingeniørhøyskole. En videreføring av kalkulus & lineær algebra. Synes alltid tekstoppgaver eller anvendte oppgaver er de mest vriene, men kan ofte også være de som er mest morsomme å få has på. I tillegg er jo anvendt matematikk typisk det man møter i arbeidslivet.

[Johan Nes]

Heisann,

Her er det jeg antar må være en induksjonsoppgave.

Vis at [tex]\frac{1}{(n+1)!}\leq \frac{1}{2^n}[/tex] for alle n > 1.

Jeg antar da at jeg bruker induksjonsbeviset? Er litt rusten her, men jeg tenker som følger og lurer på om dette kan være rett (har ikke fasit)?

1. Sjekker at formelen er rett for n = 1. Ok!

2. Antar at formelen er rett for n = k hvor k er et vilkårlig valgt naturlig tall. Ok!

3. Må nå vise at formelen er rett for n = k + 1. Dvs:

[tex]\frac{1}{(k+2)!}\leq \frac{1}{2^{k+1} }[/tex]

4. Er det da bare å legge til [tex]\frac{1}{(k+2)!}[/tex] på V.S. av uttrykket i punkt 2 og [tex]\frac{1}{2^{k+1}}[/tex] på H.S.? Gange inn fellesnevner og forkorte, så får man samme uttrykk som i punkt 3?

Er litt rusten og usikker her, så en bekreftelse hadde vært fint.