irredusible polynomer i Z7

[Janhaa]

trenger litt drahjelp her:

skriv polynomet [tex]\,4x^6+3\,[/tex]som et produkt av irredusible polynomer i [tex]\,\mathbb{Z_7}[x].[/tex]

********************
litt tanker:

polynomet har ingen rasjonale røtter ifølge the Rational Root Test

[tex](2x^3+\sqrt 3)(2x^3-\sqrt 3) \neq 4x^6+3[/tex]

[tex]4x^6+3\,[/tex]har ingen røtter i [tex]\,\mathbb{Z_7}\,[/tex](hverken 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6).

[pit]

Det du kan gjøre er å legge merke til at:

X = 1 er en løsning da 4*1 + 3 = 7 = 0 i [tex]\mathbb{Z}_7[/tex]

Ved å ta lang divisjon [tex](4x^6 + 3) : (x-1)[/tex] i [tex]\mathbb{Z}_7[/tex] hvor en adderer og subtraherer i divisjonen i henhold til [tex]\mathbb{Z}_7[/tex]. Så får en, en ny likning.

En kan så fortsette å gjette, og redusere.

[Janhaa]

Det du kan gjøre er å legge merke til at:
X = 1 er en løsning da 4*1 + 3 = 7 = 0 i [tex]\mathbb{Z}_7[/tex]
Ved å ta lang divisjon [tex](4x^6 + 3) : (x-1)[/tex] i [tex]\mathbb{Z}_7[/tex] hvor en adderer og subtraherer i divisjonen i henhold til [tex]\mathbb{Z}_7[/tex]. Så får en, en ny likning.
En kan så fortsette å gjette, og redusere.

thanks, fant ut at:

[tex]4x^6+3 \equiv 4x^6-4\,[/tex] [tex](\,i\,\,\mathbb{Z}_7)[/tex]
fordi
[tex]3 \equiv -4 \pmod{7}[/tex]
dvs
[tex]4x^6+3=4x^6-4=4(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)[/tex]

holder dette?

[pit]

x = 2 er en løsning av

[tex]x^2 + x + 1[/tex] da 2^2 + 2 + 1= 4 + 2 +1 = 7 = 0 i [tex]\mathbb{Z}_7[/tex]

[Brahmagupta]

Observer at ved Fermat's lille teorem så vil alle $x\in\mathbb{Z}_7$ løse ligningen $x^6-1$.
Dermed er $4x^6+3=4(x^6-1)=4(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)$.
Man kan selvfølgelig også finne denne faktoriseringen ved å legge merke til at
$x^2+x+1=x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ og $x^2-x+1=x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.

[Janhaa]

x = 2 er en løsning av
[tex]x^2 + x + 1[/tex] da 2^2 + 2 + 1= 4 + 2 +1 = 7 = 0 i [tex]\mathbb{Z}_7[/tex]

OK, da kan jeg heller ikke skrive:

[tex]x^3-1\equiv x^3+6 \pmod{ 7}[/tex]
for
[tex]x^3-1=x^3+6 + 7n,\,\,\,n \in Z[/tex]
der
[tex]x^3+6\,\, \, i\,\, \mathbb{Z_7}[/tex]
fordi
[tex]1^3 + 6 = 7 = 0\,\, i\,\, \mathbb{Z_7}[/tex]

[Janhaa]

Observer at ved Fermat's lille teorem så vil alle $x\in\mathbb{Z}_7$ løse ligningen $x^6-1$.
Dermed er $4x^6+3=4(x^6-1)=4(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)$.
Man kan selvfølgelig også finne denne faktoriseringen ved å legge merke til at
$x^2+x+1=x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ og $x^2-x+1=x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.

smart...nikker og neier :=)