Gruppevirkninger og isomorfier

[Kake med tau]

Hei, jeg har fått denne oppgaven:

Skjermbilde.PNG (164.06 KiB) Viewed 1145 times

Og jeg har to spørsmål:
1) I deloppgave a), er det nok å si at det finnes en identitetspermutasjon [tex]\sigma=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex] og at for to permutasjoner [tex]\sigma, \tau\in S_4[/tex] har vi automatisk [tex]\sigma(\tau(x))=(\sigma\tau)(x)\forall x\in X[/tex]? (Vet ikke hvordan jeg kan argumentere for at den assosiative egenskapen holder)

2) I deloppgave b) har jeg sagt at hvis en slik [tex]\phi[/tex] finnes, så må vi ha:
[tex]\begin{matrix} \phi(\sigma(1))=\sigma(\phi(1))=\sigma(1)\\ \phi(\sigma(2))=\sigma(\phi(2))=\sigma(5)\\ \phi(\sigma(3))=\sigma(\phi(3))=\sigma(4)\\ \phi(\sigma(4))=\sigma(\phi(4))=\sigma(2) \end{matrix}[/tex]
, men ser ikke om dette fører til en motsigelse. Eneste jeg kan komme på er at [tex]\sigma(5)=\phi(\sigma(2))[/tex] ikke finnes, siden [tex]5\notin X[/tex] da [tex]\sigma:S_4\times X\rightarrow X[/tex]
. Håper på hjelp!

[Brahmagupta]

1) Ja, dette holder. Assosiativiteten følger fra definisjonen av binæroperasjonen
i $S_4$; $\tau\sigma$ er permutasjonen som tar $x$ til $\tau(\sigma(x))$.

2) Jeg er ikke helt enig i at $\sigma(5)=\phi(\sigma(2))$ ikke finnes. Husk at når
$S_4$ virker på $Y=\{1,2,3,4,5\}$ så virker den som en undergruppe av $S_5$,
$S_4\cong \{\sigma\in S_5 :\sigma(5)=5\}\subset S_5$. Dermed har vi at for enhver
$\sigma\in S_4$, så er $\phi(\sigma(2))=\sigma(5)=5$. Hvis du nå prøver deg frem
med noen spesifikke $\sigma\in S_4$ her, så vil du nok fort finne en kontradiksjon!