Basis og abstrakt algebra

[Janhaa]

Driver og regner litt eksamensoppgaver. Dette er en følgeoppgave, men d) sliter jeg litt med:

Beregn [tex]\,(x^3 + 2x + 1) : (x + 6) \,\,i\,\,\mathbb{Z}_7[x]\,[/tex] med rest.
Bruk dette til å uttrykke [tex]\,(\alpha + 6)^{−1}\,[/tex] i basisen,[tex]\,\mathscr B= \{1, \alpha , \alpha^2\}[/tex]

Løsningsforslag:
Jeg finner [tex]\,f(x)=(x + 6)(x^2 + x + 3) + 4\,[/tex] ved divisjonsalgoritmen.
Dermed er[tex]\,\,0 = f (\alpha)=(\alpha + 6)(\alpha^2 + \alpha + 3) + 4\,\,[/tex] som ved multiplikasjon med [tex](\,\alpha+ 6)^{-1}\,[/tex] gir:
[tex](\alpha^2 + \alpha + 3) = 3(\,\alpha+ 6)^{-1}\,[/tex]
så hvorfor er:
[tex](\,\alpha+ 6)^{-1}\,= 5\alpha^2 + 5\alpha + 1[/tex]

??

[Gustav]

Driver og regner litt eksamensoppgaver. Dette er en følgeoppgave, men d) sliter jeg litt med:

Beregn [tex]\,(x^3 + 2x + 1) : (x + 6) \,\,i\,\,\mathbb{Z}_7[x]\,[/tex] med rest.
Bruk dette til å uttrykke [tex]\,(\alpha + 6)^{−1}\,[/tex] i basisen,[tex]\,\mathscr B= \{1, \alpha , \alpha^2\}[/tex]

Løsningsforslag:
Jeg finner [tex]\,f(x)=(x + 6)(x^2 + x + 3) + 4\,[/tex] ved divisjonsalgoritmen.
Dermed er[tex]\,\,0 = f (\alpha)=(\alpha + 6)(\alpha^2 + \alpha + 3) + 4\,\,[/tex] som ved multiplikasjon med [tex](\,\alpha+ 6)^{-1}\,[/tex] gir:
[tex](\alpha^2 + \alpha + 3) = 3(\,\alpha+ 6)^{-1}\,[/tex]
så hvorfor er:
[tex](\,\alpha+ 6)^{-1}\,= 5\alpha^2 + 5\alpha + 1[/tex]

??

Trolig fordi 5 er inversen til 3 modulo 7:

Gang [tex](\alpha^2 + \alpha + 3) = 3(\,\alpha+ 6)^{-1}\,[/tex] med 5 og reduser modulo 7 så får du fasiten

[Janhaa]

Driver og regner litt eksamensoppgaver. Dette er en følgeoppgave, men d) sliter jeg litt med:
Trolig fordi 5 er inversen til 3 modulo 7:
Gang [tex](\alpha^2 + \alpha + 3) = 3(\,\alpha+ 6)^{-1}\,[/tex] med 5 og reduser modulo 7 så får du fasiten

sjølsagt (lett og si etterpå)... thanks...