Hei, jeg sitter fast (som alltid). Prøver å løse denne oppgaven, men får det rett og slett ikke til. Har sett på YouTube, diverse nettsider, forelesningsnotater, men er ingenting som forklarer løsningen på denne.
[tex]\int x^{3}(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] dx
Ubestemt integral (kvadratrot)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Dolandyret
- Lagrange
- Posts: 1264
- Joined: 04/10-2015 22:21
Har ikke tid til å løse hele akkurat nå, men bruk substitusjonen [tex]u=x^2[/tex] hvor du da får [tex]dx=\frac{du}{2x}[/tex]Gjest wrote:Hei, jeg sitter fast (som alltid). Prøver å løse denne oppgaven, men får det rett og slett ikke til. Har sett på YouTube, diverse nettsider, forelesningsnotater, men er ingenting som forklarer løsningen på denne.
[tex]\int x^{3}(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] dx
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
-
Guest
Får det ikke til, rett og slett. Har aldri løst integraler med røtter av en parentes.Dolandyret wrote:Har ikke tid til å løse hele akkurat nå, men bruk substitusjonen [tex]u=x^2[/tex] hvor du da får [tex]dx=\frac{du}{2x}[/tex]Gjest wrote:Hei, jeg sitter fast (som alltid). Prøver å løse denne oppgaven, men får det rett og slett ikke til. Har sett på YouTube, diverse nettsider, forelesningsnotater, men er ingenting som forklarer løsningen på denne.
[tex]\int x^{3}(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] dx
Hei,
Som ble sagt fra Dolandyret er det lurt å starte med substitusjon her:
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx[/tex]
Bruk [tex]u = x^2[/tex], da kan du skrive om integralet slik:
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du[/tex].
Herfra må du bruke delvis integrasjon, altså
[tex]\int{ab'} = ab - \int{a'b}[/tex].
Sett [tex]a = u[/tex], slik at [tex]a' = 1[/tex], og
[tex]b' = \sqrt{u+4}[/tex], slik at [tex]b = \frac{2}{3}(u+4)^{3/2}[/tex]
da har vi
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{2} \frac{2}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{1}{2}\int{\frac{2}{3}(u+4)^{3/2}}du[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{2}{15}(u+4)^{5/2} + C[/tex]
Tok med integrasjonskonstanten nå, siden det ikke er flere integraler igjen, den burde forsåvidt vært med hele tiden.
Utrykket kan så faktoriseres litt, ved å sette [tex]\frac{1}{15}(u+4)^{3/2}[/tex] utenfor parantesen, og så sette tilbake x istedet for u, og du ender med
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx = \frac{1}{15}(x^2 +4)^{3/2}(3x^2- 8) + C[/tex]
Som ble sagt fra Dolandyret er det lurt å starte med substitusjon her:
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx[/tex]
Bruk [tex]u = x^2[/tex], da kan du skrive om integralet slik:
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du[/tex].
Herfra må du bruke delvis integrasjon, altså
[tex]\int{ab'} = ab - \int{a'b}[/tex].
Sett [tex]a = u[/tex], slik at [tex]a' = 1[/tex], og
[tex]b' = \sqrt{u+4}[/tex], slik at [tex]b = \frac{2}{3}(u+4)^{3/2}[/tex]
da har vi
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{2} \frac{2}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{1}{2}\int{\frac{2}{3}(u+4)^{3/2}}du[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{2}{15}(u+4)^{5/2} + C[/tex]
Tok med integrasjonskonstanten nå, siden det ikke er flere integraler igjen, den burde forsåvidt vært med hele tiden.
Utrykket kan så faktoriseres litt, ved å sette [tex]\frac{1}{15}(u+4)^{3/2}[/tex] utenfor parantesen, og så sette tilbake x istedet for u, og du ender med
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx = \frac{1}{15}(x^2 +4)^{3/2}(3x^2- 8) + C[/tex]
-
Guest
Tusen takk!!!madfro wrote:Hei,
Som ble sagt fra Dolandyret er det lurt å starte med substitusjon her:
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx[/tex]
Bruk [tex]u = x^2[/tex], da kan du skrive om integralet slik:
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du[/tex].
Herfra må du bruke delvis integrasjon, altså
[tex]\int{ab'} = ab - \int{a'b}[/tex].
Sett [tex]a = u[/tex], slik at [tex]a' = 1[/tex], og
[tex]b' = \sqrt{u+4}[/tex], slik at [tex]b = \frac{2}{3}(u+4)^{3/2}[/tex]
da har vi
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{2} \frac{2}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{1}{2}\int{\frac{2}{3}(u+4)^{3/2}}du[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{2}{15}(u+4)^{5/2} + C[/tex]
Tok med integrasjonskonstanten nå, siden det ikke er flere integraler igjen, den burde forsåvidt vært med hele tiden.
Utrykket kan så faktoriseres litt, ved å sette [tex]\frac{1}{15}(u+4)^{3/2}[/tex] utenfor parantesen, og så sette tilbake x istedet for u, og du ender med
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx = \frac{1}{15}(x^2 +4)^{3/2}(3x^2- 8) + C[/tex]
men bare et spm: hvorfor valgte du u=x^2 og ikke u= x^2+4 ?
-
Dolandyret
- Lagrange
- Posts: 1264
- Joined: 04/10-2015 22:21
Fordi det gjør integrasjonen lettere. Med [tex]u=x^2[/tex] får vi trikset mye med begge faktorene, det gjør vi ikke like godt med [tex]u=x^2+4[/tex].
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
-
Stringselings
- Cantor
- Posts: 105
- Joined: 07/12-2014 16:05
Med [tex]u=x^2+4[/tex] får vi
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}} \ dx=\frac{1}{2}\int{(u-4)\sqrt{u} \ du}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int{u^{3/2}-4u^{1/2} \ du}[/tex]
Har erfart at mange røtter integraler lar seg løse ved å substituere alt under rottegnet selvom det ser ut som om det ikke funker.
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}} \ dx=\frac{1}{2}\int{(u-4)\sqrt{u} \ du}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int{u^{3/2}-4u^{1/2} \ du}[/tex]
Har erfart at mange røtter integraler lar seg løse ved å substituere alt under rottegnet selvom det ser ut som om det ikke funker.