Tangenter

[gjest 6798]

Jeg sliter veldig med en oppgave, og finner ikke noe eksmepel i boka eller andre steder som kan hjelpe meg noe på vei.. Oppgaven er:

Finn likningen for alle linjer som går gjennom det gitte punktet og tangerer kurven y=f(x). Hint: sett (a, f(a)) for det ukjente tangeringspunktet.

(3,1), f(x)=x^2-x

Noen som kunne hjulpet meg litt på vei?

[Gjest3]

Det er to linjer som tangerer funksjonen og som samtidig går gjennom punktet (3,1).
Å starte med ett-punktsformelen er et godt utgangspunkt:
[tex]y-y_1=m*(x-x_1)[/tex]

m er stigningstallet til den lineære funksjonen. Hvis du sier at ett av tangeringspunktene er [tex](a,f(a))[/tex], så er stigningstallet i dette punktet [tex]m=f'(a)[/tex]
Håper dettte hjelper deg litt på vei.

[Guest]

Hei! Sliter med samme oppgave, og trenger dessverre litt mer hjelp enn det som har blitt gitt hittil. Har slitt i flere dager nå. Har jo fasiten men aner ikke hvordan man kommer frem til svaret.

[Gustav]

Finn likningen for alle linjer som går gjennom det gitte punktet og tangerer kurven y=f(x). Hint: sett (a, f(a)) for det ukjente tangeringspunktet.

(3,1), f(x)=x^2-x

Noen som kunne hjulpet meg litt på vei?

Kall tangeringspunktet $(a,f(a))$. La den rette linja gjennom (3,1) og $(a,f(a))$ være gitt ved likningen $y=bx+c$, der $b=f'(a)=2a-1$ er stigningstallet. Linja blir altså $y=(2a-1)x+c$. Nå må (3,1) og $(a,f(a))=(a,a^2-a)$ begge tilfredsstille likningen for linja, så ved innsetting får vi følgende to likninger:

1. $1=(2a-1)\cdot 3+c$
2. $a^2-a=(2a-1)\cdot a+c\Rightarrow c=-a^2$.

Ved eliminering av c, fås

$a^2-6a+4=0\Rightarrow a=3\pm \sqrt{5}$

Vi ser dermed at det er to linjer som tangerer f(x) og som går gjennom punktet (3,1).

Linjene får likningene $y=(2a-1)x-a^2=(2(3\pm \sqrt{5})-1)x-(3\pm \sqrt{5})^2=...$

[Guest]

Finn likningen for alle linjer som går gjennom det gitte punktet og tangerer kurven y=f(x). Hint: sett (a, f(a)) for det ukjente tangeringspunktet.

(3,1), f(x)=x^2-x

Noen som kunne hjulpet meg litt på vei?

Kall tangeringspunktet $(a,f(a))$. La den rette linja gjennom (3,1) og $(a,f(a))$ være gitt ved likningen $y=bx+c$, der $b=f'(a)=2a-1$ er stigningstallet. Linja blir altså $y=(2a-1)x+c$. Nå må (3,1) og $(a,f(a))=(a,a^2-a)$ begge tilfredsstille likningen for linja, så ved innsetting får vi følgende to likninger:

1. $1=(2a-1)\cdot 3+c$
2. $a^2-a=(2a-1)\cdot a+c\Rightarrow c=-a^2$.

Ved eliminering av c, fås

$a^2-6a+4=0\Rightarrow a=3\pm \sqrt{5}$

Vi ser dermed at det er to linjer som tangerer f(x) og som går gjennom punktet (3,1).

Linjene får likningene $y=(2a-1)x-a^2=(2(3\pm \sqrt{5})-1)x-(3\pm \sqrt{5})^2=...$

Tusen hjertelig takk!