Hjelp oppgave

[Guest]

Sliter med flåølgende oppgave: finn den korteste avstanden fra (-2,-4) punktet og linja y=-1/3x+2

Takk på forhånd for løsningsforslag

[pit]

For å gjøre svaret mer konstruktivt enn å bare gi svaret, kan jeg gi en forklaring på hvorfor:

Arealet av en trekant kan skrives på to måter, når to punkt ligger på linjen, og punktet utenfor er det tredje punkt
La A og B være punkter på linjen, og P være punktet utenfor.

[tex]\frac{1}{2}gh = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|h = \frac{1}{2}|\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB}| <=> h = \frac{|\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AB}|}[/tex]

Det er altså denne likningen du må bruke. Valgte dette beviset da det er lettere å huske, opp imot bevisene fra kalkulus boken fra universitet.

Er også lettere å huske beviset, fremfor formelen

[Drezky]

For å gjøre svaret mer konstruktivt enn å bare gi svaret, kan jeg gi en forklaring på hvorfor:

Arealet av en trekant kan skrives på to måter, når to punkt ligger på linjen, og punktet utenfor er det tredje punkt
La A og B være punkter på linjen, og P være punktet utenfor.

[tex]\frac{1}{2}gh = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|h = \frac{1}{2}|\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB}| <=> h = \frac{|\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AB}|}[/tex]

Det er altså denne likningen du må bruke. Valgte dette beviset da det er lettere å huske, opp imot bevisene fra kalkulus boken fra universitet.

Er også lettere å huske beviset, fremfor formelen

Hvorfor gjøre det vanskeligere?


Ikke nødvendig med vektorregning.

Den korteste avstanden fra punktet til linja står ortogonalt på [tex]y_1=-\frac{1}{3}x+2[/tex]
Denne linja som representerer den korteste avstanden kan skrives på formen [tex]y_2=ax+b[/tex]
Ettersom disse står ortogonalt på hverandre og følgelig er skalarproduktet lik [tex]0[/tex] er produktet av stigningstallene lik [tex]-1[/tex]
[tex]a_1*a_2=-1\Longleftrightarrow a_2=\frac{-1}{-\frac{1}{3}}=3[/tex]

Linja er altså på formen [tex]y=3x+b[/tex] og går gjennom punktet [tex](-2,-4)[/tex] og følgelig blir konstantleddet lik:
[tex]-4=3*-2+b\Longleftrightarrow b=-4+6=2[/tex]

Altså [tex]y=3x+2[/tex]

Finner skjæringsspunktet mellom linjene:
[tex]y_1=y_2\Longleftrightarrow\, -\frac{1}{3}x+2=3x+2\Longleftrightarrow x=0[/tex]

Innsatt i en av funksjonene gir oss punktet [tex](0,2)[/tex]


Hvor pythagoras læresetning gir:

[tex]A^2=(-2)^2+(2--4)^2\Longleftrightarrow A=\sqrt{40}=\sqrt{4*10}=2\sqrt{10}\,\,\star[/tex]