Kjerneregel

[goobigofs]

Heisann!

Jeg sitter å ser på Fysikkmann97 sitt svar her, der en derivasjon går slik: http://imgur.com/FQjl1xb

følger vi regelen her, som sier at (a^x)´= a^x * ln(a), sammen med kjerneregel (setter t/60 som kjerne) - så får vi jo

(0.88^(t/60))´= 0.88^(t/60) * ln(0.88) * 0.02, der 0.02 er den deriverte til t/60

Men dette passer ikke med den deriverte i bildet jeg legger ved, kunne noen forklart?

Takk!

[Drezky]

Vi har at

[tex]f(x)=a^x[/tex] hvor [tex]a>0[/tex]

da er [tex]f'(x)=a^x*ln(a)[/tex]

[tex]M(t)=200*0.88^{\frac{t}{60}}[/tex]


[tex]\left ( 0.88^{\frac{t}{60}} \right )\frac{d}{dt}=\left ( 0.88^{\frac{1}{60}t} \right )\frac{d}{dt}=ln\left ( 0.88^{\frac{1}{60}} \right )*0.88[/tex]

Dette følger av at [tex]\frac{a}{b}=\frac{1}{b}*a[/tex]


Husk at vi deriverer mhp. på t. og [tex]a\neq 0.88[/tex]. men [tex]a=0.88^{\frac{1}{60}}[/tex]



Det virker kanskje snodig at [tex]f'(x)=(a^x)\frac{d}{dx}=a^x*ln(a)[/tex] ?

men la meg forklare. Husk at siden den naturlige logartimen ( til eulertallet) er definert som [tex]a=e^{lna}[/tex]
dermed kan vi omskrive [tex]a^x[/tex] til [tex]a^x=(e^{lna})^x=e^{xlna}[/tex] (vanlige potensregler)

Så:

[tex]f(x)=e^{xlna}[/tex] hvor jeg anvender kjerneregelen for å derivere med substitusjon for [tex]k=xlna[/tex]

[tex]g(k)=e^k[/tex]
[tex]k'=\left ( xlna \right )'=lna[/tex]
og [tex]\left ( e^{k} \right )'=e^{k}[/tex]

Dermed får vi at:
[tex]f'(x)=g'(k)*k'(x)=e^u*u'=e^{xlna}*ln(a)=e^{lna^{x}}*ln(a)=a^x*ln(a)[/tex]

Ettersom vi sa at [tex]a^x=(e^{lna})^x[/tex] og vanlige logartimeregler: [tex]lna^x=x*lna[/tex]

[goobigofs]

Vi har at

[tex]f(x)=a^x[/tex] hvor [tex]a>0[/tex]

da er [tex]f'(x)=a^x*ln(a)[/tex]

[tex]M(t)=200*0.88^{\frac{t}{60}}[/tex]


[tex]\left ( 0.88^{\frac{t}{60}} \right )\frac{d}{dt}=\left ( 0.88^{\frac{1}{60}t} \right )\frac{d}{dt}=ln\left ( 0.88^{\frac{1}{60}} \right )*0.88[/tex]

Dette følger av at [tex]\frac{a}{b}=\frac{1}{b}*a[/tex]


Husk at vi deriverer mhp. på t. og [tex]a\neq 0.88[/tex]. men [tex]a=0.88^{\frac{1}{60}}[/tex]



Det virker kanskje snodig at [tex]f'(x)=(a^x)\frac{d}{dx}=a^x*ln(a)[/tex] ?

men la meg forklare. Husk at siden den naturlige logartimen ( til eulertallet) er definert som [tex]a=e^{lna}[/tex]
dermed kan vi omskrive [tex]a^x[/tex] til [tex]a^x=(e^{lna})^x=e^{xlna}[/tex] (vanlige potensregler)

Så:

[tex]f(x)=e^{xlna}[/tex] hvor jeg anvender kjerneregelen for å derivere med substitusjon for [tex]k=xlna[/tex]

[tex]g(k)=e^k[/tex]
[tex]k'=\left ( xlna \right )'=lna[/tex]
og [tex]\left ( e^{k} \right )'=e^{k}[/tex]

Dermed får vi at:
[tex]f'(x)=g'(k)*k'(x)=e^u*u'=e^{xlna}*ln(a)=e^{lna^{x}}*ln(a)=a^x*ln(a)[/tex]

Ettersom vi sa at [tex]a^x=(e^{lna})^x[/tex] og vanlige logartimeregler: [tex]lna^x=x*lna[/tex]

Utrolig gjennomført svar, setter virkelig pris på det!

Har sittet og sett på det nå, og tror jeg sakte men sikkert forstår det - men jeg har noen spørsmål.

Først og fremst, jeg ser du skriver d/dt osv. Akkurat den skrivemåten har vi ikke brukt på skolen, men jeg antar at det blir det samme som å skrive derivert tegnet, men at det utdyper mer hva vi skal derivere? d står for delta? Hva er forskjell på teller og nevner her?

Videre er jeg med på logikken med at [tex]\frac{a}{b} = \frac{1}{b} * a[/tex], men kunne du utdypet hva du gjorde på slutten av likningen over? - Hva du gjorde med t osv?

Takk!

[Drezky]

Utrolig gjennomført svar, setter virkelig pris på det!

Har sittet og sett på det nå, og tror jeg sakte men sikkert forstår det - men jeg har noen spørsmål.

Først og fremst, jeg ser du skriver d/dt osv. Akkurat den skrivemåten har vi ikke brukt på skolen, men jeg antar at det blir det samme som å skrive derivert tegnet, men at det utdyper mer hva vi skal derivere? d står for delta? Hva er forskjell på teller og nevner her?

Videre er jeg med på logikken med at [tex]\frac{a}{b} = \frac{1}{b} * a[/tex], men kunne du utdypet hva du gjorde på slutten av likningen over? - Hva du gjorde med t osv?

Takk!

Hei, litt spakt fra min side ettersom dette er noe du strengt tatt lærer i R2, og jeg antar at du har R1?

[tex]\frac{d}{dx}[/tex] er bare en annen måte å si at du skal derivere noe med hensyn på x.

Det kommer vel fra at:
[tex]\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\Rightarrow \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Rightarrow \frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)[/tex]
Hvor man distribuerer grenseverdien når x går mot null, og man indikerer dette med en [tex]d[/tex] istedenfor [tex]\Delta[/tex]

Tilbake til det opprinnelige spørsmålet:

Vi har at [tex]M(t)=200*0.88^{\frac{t}{60}}[/tex]

Her anvender jeg produktregelen som sier at [tex]\left [ f(x)*g(x) \right ]'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)[/tex]
Her kan vi bruke at [tex]f(x)=200[/tex] og [tex]g(x)=200*0.88^{\frac{x}{60}}[/tex]. Merk at jeg skiftet på eksponenten. Jeg byttet ut [tex]x[/tex] med [tex]t[/tex] fordi [tex]x[/tex] er argumentverdien. Kunne likeledes skrevet [tex]f(t)=0.88^{\frac{t}{60}}[/tex]

Uansett, la oss derivere nå

[tex]f'(x)=200'=C'=0[/tex] (Konstant derivert =0)
[tex]g(x)=0.88^{\frac{x}{60}}=0.88^{\frac{1}{60}x}[/tex]

Vi kan bruke substitusjon for å gjøre det synligere: [tex]0.88^{\frac{1}{60}x}=\left ( 0.88^{\frac{1}{60}} \right )^x=a^x[/tex]

Hvor [tex]a=0.88^{\frac{1}{60}}[/tex]

Da vet vi at [tex]f'(x)=\left (a^x \right )'=a^x*ln(a)[/tex]

Så.. [tex]f'(x)=0.88^{\frac{x}{60}}*ln(0.88^{\frac{1}{60}})[/tex]

Til slutt setter vi alt sammen i produktregelen:

[tex]M'(t)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)=0*0.88^{\frac{x}{60}}+200*0.88^{\frac{x}{60}}*ln\left (0.88^{\frac{1}{60}} \right )=200*0.88^{\frac{x}{60}}*ln\left (0.88^{\frac{1}{60}} \right )[/tex]

[goobigofs]

Utrolig gjennomført svar, setter virkelig pris på det!

Har sittet og sett på det nå, og tror jeg sakte men sikkert forstår det - men jeg har noen spørsmål.

Først og fremst, jeg ser du skriver d/dt osv. Akkurat den skrivemåten har vi ikke brukt på skolen, men jeg antar at det blir det samme som å skrive derivert tegnet, men at det utdyper mer hva vi skal derivere? d står for delta? Hva er forskjell på teller og nevner her?

Videre er jeg med på logikken med at [tex]\frac{a}{b} = \frac{1}{b} * a[/tex], men kunne du utdypet hva du gjorde på slutten av likningen over? - Hva du gjorde med t osv?

Takk!

Hei, litt spakt fra min side ettersom dette er noe du strengt tatt lærer i R2, og jeg antar at du har R1?

[tex]\frac{d}{dx}[/tex] er bare en annen måte å si at du skal derivere noe med hensyn på x.

Det kommer vel fra at:
[tex]\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\Rightarrow \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Rightarrow \frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)[/tex]
Hvor man distribuerer grenseverdien når x går mot null, og man indikerer dette med en [tex]d[/tex] istedenfor [tex]\Delta[/tex]

Tilbake til det opprinnelige spørsmålet:

Vi har at [tex]M(t)=200*0.88^{\frac{t}{60}}[/tex]

Her anvender jeg produktregelen som sier at [tex]\left [ f(x)*g(x) \right ]'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)[/tex]
Her kan vi bruke at [tex]f(x)=200[/tex] og [tex]g(x)=200*0.88^{\frac{x}{60}}[/tex]. Merk at jeg skiftet på eksponenten. Jeg byttet ut [tex]x[/tex] med [tex]t[/tex] fordi [tex]x[/tex] er argumentverdien. Kunne likeledes skrevet [tex]f(t)=0.88^{\frac{t}{60}}[/tex]

Uansett, la oss derivere nå

[tex]f'(x)=200'=C'=0[/tex] (Konstant derivert =0)
[tex]g(x)=0.88^{\frac{x}{60}}=0.88^{\frac{1}{60}x}[/tex]

Vi kan bruke substitusjon for å gjøre det synligere: [tex]0.88^{\frac{1}{60}x}=\left ( 0.88^{\frac{1}{60}} \right )^x=a^x[/tex]

Hvor [tex]a=0.88^{\frac{1}{60}}[/tex]

Da vet vi at [tex]f'(x)=\left (a^x \right )'=a^x*ln(a)[/tex]

Så.. [tex]f'(x)=0.88^{\frac{x}{60}}*ln(0.88^{\frac{1}{60}})[/tex]

Til slutt setter vi alt sammen i produktregelen:

[tex]M'(t)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)=0*0.88^{\frac{x}{60}}+200*0.88^{\frac{x}{60}}*ln\left (0.88^{\frac{1}{60}} \right )=200*0.88^{\frac{x}{60}}*ln\left (0.88^{\frac{1}{60}} \right )[/tex]

Ahh, da tror jeg forstår det. Stemmer det at de to linjene under der du skriver "Hvor a = 0.88^1/60" skulle det ha vært g´(x) ? Jeg ser logikken i det siste svaret ditt, men den linjen under "M(t) = ..." i det f.rste svaret virker noe kort? Mangler det ikke en x/60 som eksponent hos 0.88?


Ferdig med R1 offisielt, begynner R2 til høsten i VG3. Kjører repetisjon av derivasjon for å svare på alle mulige spørsmål slik som dette for å ruste meg mest mulig før R2. Planlegger også å gå igjennom R2 pensum før skolestart for å få ett forsprang, tenker jeg begynner med det enten imorgen eller tirsdag.

[Drezky]

Ahh, da tror jeg forstår det. Stemmer det at de to linjene under der du skriver "Hvor a = 0.88^1/60" skulle det ha vært g´(x) ? Jeg ser logikken i det siste svaret ditt, men den linjen under "M(t) = ..." i det f.rste svaret virker noe kort? Mangler det ikke en x/60 som eksponent hos 0.88?


Ferdig med R1 offisielt, begynner R2 til høsten i VG3. Kjører repetisjon av derivasjon for å svare på alle mulige spørsmål slik som dette for å ruste meg mest mulig før R2. Planlegger også å gå igjennom R2 pensum før skolestart for å få ett forsprang, tenker jeg begynner med det enten imorgen eller tirsdag.

Sorry, mente selvfølgelig at det var [tex]g'(x)[/tex]

Ja, i det første innlegget deriverte jeg bare [tex]g(x)[/tex] altså [tex]0.88^{\frac{t}{60}}[/tex]. Men fullstendig løsning finner du i mitt siste innlegg.


Jeg skal også begynne med R2 til høsten i VG3.
Vedrørende derivasjon har jeg erfart at mye av det man gjennomgår i R2 bygger veldig på det man lærer i R1 og er egentlig det samme. Den eneste forskjellen med oppgavene er at du nå skal derivere funksjoner som inneholder trignometriske funksjoner av typen sinus, cosinus og tangens.

Du lærer at [tex]\left (sin(x) \right )'=cos(x)[/tex], [tex](cos(x))'=-sin(x)[/tex]

Her er noen oppgaver du kan prøve deg på:

Deriver funksjonene:

A [tex]f(x)=2cos5x[/tex]
B [tex]g(x)=e^{-2x}sinx[/tex]
C [tex]h(x)=x*sin(x)[/tex]
D [tex]I(x)=e^{cos(2x)}[/tex]


Og du kan vel selv fundere litt på hva [tex](tan(x))'=?[/tex]. Hint: tenk enhetssirkelen og definisjoner av de trignometriske funksjonene (1T- pensum)


Finalen: [tex]J(x)=cos(x)*tan(x)[/tex]

[goobigofs]

Ahh, da tror jeg forstår det. Stemmer det at de to linjene under der du skriver "Hvor a = 0.88^1/60" skulle det ha vært g´(x) ? Jeg ser logikken i det siste svaret ditt, men den linjen under "M(t) = ..." i det f.rste svaret virker noe kort? Mangler det ikke en x/60 som eksponent hos 0.88?


Ferdig med R1 offisielt, begynner R2 til høsten i VG3. Kjører repetisjon av derivasjon for å svare på alle mulige spørsmål slik som dette for å ruste meg mest mulig før R2. Planlegger også å gå igjennom R2 pensum før skolestart for å få ett forsprang, tenker jeg begynner med det enten imorgen eller tirsdag.

Sorry, mente selvfølgelig at det var [tex]g'(x)[/tex]

Ja, i det første innlegget deriverte jeg bare [tex]g(x)[/tex] altså [tex]0.88^{\frac{t}{60}}[/tex]. Men fullstendig løsning finner du i mitt siste innlegg.


Jeg skal også begynne med R2 til høsten i VG3.
Vedrørende derivasjon har jeg erfart at mye av det man gjennomgår i R2 bygger veldig på det man lærer i R1 og er egentlig det samme. Den eneste forskjellen med oppgavene er at du nå skal derivere funksjoner som inneholder trignometriske funksjoner av typen sinus, cosinus og tangens.

Du lærer at [tex]\left (sin(x) \right )'=cos(x)[/tex], [tex](cos(x))'=-sin(x)[/tex]

Her er noen oppgaver du kan prøve deg på:

Deriver funksjonene:

A [tex]f(x)=2cos5x[/tex]
B [tex]g(x)=e^{-2x}sinx[/tex]
C [tex]h(x)=x*sin(x)[/tex]
D [tex]I(x)=e^{cos(2x)}[/tex]


Og du kan vel selv fundere litt på hva [tex](tan(x))'=?[/tex]. Hint: tenk enhetssirkelen og definisjoner av de trignometriske funksjonene (1T- pensum)


Finalen: [tex]J(x)=cos(x)*tan(x)[/tex]

Takker for oppgavene. Hva er din plan for forberedelse? Hva satser du på karaktermessig om jeg får spørre?

[Drezky]

Takker for oppgavene. Hva er din plan for forberedelse? Hva satser du på karaktermessig om jeg får spørre?

Har egentlig ikke noe særlig plan for forberedelse. Men det hender av og til at jeg sjekker ulike emner i R2 som vektorreggning/geometri, integrasjon, derivasjon osv.. en gang i blant.. Jeg går vel for toppkarakter.

Men jeg erindrer at jeg forberedet meg til R1 sist sommer, og da ble jeg ferdig med de to første kapitlene i boken før sommeren var omme. Jeg husker at det var veldig givende da jeg cruiset de 5-7 første ukene.. I etterpåklokskapens navn burde jeg også hatt tilsvarende prosjekt for sommeren, men er for slakk i disse dager.



Tips: Start allerede i dag! Det er mye du uansett skal komme gjennom. Det fine med dette er at du kan disponere tiden i VG3 bedre =)
Lykke til !

[goobigofs]

Takker for oppgavene. Hva er din plan for forberedelse? Hva satser du på karaktermessig om jeg får spørre?

Har egentlig ikke noe særlig plan for forberedelse. Men det hender av og til at jeg sjekker ulike emner i R2 som vektorreggning/geometri, integrasjon, derivasjon osv.. en gang i blant.. Jeg går vel for toppkarakter.

Men jeg erindrer at jeg forberedet meg til R1 sist sommer, og da ble jeg ferdig med de to første kapitlene i boken før sommeren var omme. Jeg husker at det var veldig givende da jeg cruiset de 5-7 første ukene.. I etterpåklokskapens navn burde jeg også hatt tilsvarende prosjekt for sommeren, men er for slakk i disse dager.



Tips: Start allerede i dag! Det er mye du uansett skal komme gjennom. Det fine med dette er at du kan disponere tiden i VG3 bedre =)
Lykke til !

For meg er det ganske omvendt. Hadde lite med planlegging sist sommer før R1, men leste litt her og der. Nå derimot er jeg mye mer motivert og satser alt på å få toppkarakter for å nå NTNU rett etter vg3. Satser på at det jeg lærer nå vil, som du sier, være veldig givende i løpet av skoleåret. Heldigvis så er temaene i R2 det jeg interesserer meg mest for innen matematikk, så jeg tror det kommer til å gå riktig vei =)

Lykke til du også!