Vektorer / bevis

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Drezky
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

Hallais, trenger en liten bekreftelse på om dette stemmer:

I den første oppgaven skal jeg vise at dersom og er to vilkårlige vektorer så vil:



Benytter meg av at



Kan man ta i bruk at:



?




En annen oppgave:

Ber om å vinne en vinkel:
mellom en vektor og henholdsvis x-, y- og z-aksen.

Deretter skal jeg regne ut
og jeg får at:

Men så skal jeg bevise at svaret gjelder generelt?

Hvordan skal jeg føre et generisk bevis på dette?

Tenker i slike baner:


? Men jeg kan jo ikke bruke at , dette er noe jeg skal utlede.

Hvordan skal man forresten geometrisk tolke dette?




Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4470
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hint:
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4470
Registrert: 12/12-2008 12:44

På den andre:

Bruk enhetsvektorer langs aksene: $\vec{e_x}=(1,0,0)$, $\vec{e_y}=(0,1,0)$ og $\vec{e_z}=(0,0,1)$.

La $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)\neq (0,0,0)$.

$v_x=\vec{v}\cdot (1,0,0)=|\vec{v}|\cos \alpha\Rightarrow \cos^2 \alpha =\frac{v_x^2}{|\vec{v}|^2}$

$v_y=\vec{v}\cdot (0,1,0)=|\vec{v}|\cos \beta\Rightarrow \cos^2 \beta =\frac{v_y^2}{|\vec{v}|^2}$

$v_z=\vec{v}\cdot (0,0,1)=|\vec{v}|\cos \gamma \Rightarrow \cos^2 \gamma =\frac{v_z^2}{|\vec{v}|^2}$

$\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta +\cos^2 \gamma = \frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{|\vec{v}|^2}=\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{v}|^2}=1$
Drezky
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

plutarco skrev:Hint:

Dette er altså galt?









Du har selvfølgelig rett at jeg glemmer å ta med cosinus verdien til vinkelen mellom vektorene..





plutarco skrev:På den andre:

Bruk enhetsvektorer langs aksene: $\vec{e_x}=(1,0,0)$, $\vec{e_y}=(0,1,0)$ og $\vec{e_z}=(0,0,1)$.

La $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)\neq (0,0,0)$.

$v_x=\vec{v}\cdot (1,0,0)=|\vec{v}|\cos \alpha\Rightarrow \cos^2 \alpha =\frac{v_x^2}{|\vec{v}|^2}$

$v_y=\vec{v}\cdot (0,1,0)=|\vec{v}|\cos \beta\Rightarrow \cos^2 \beta =\frac{v_y^2}{|\vec{v}|^2}$

$v_z=\vec{v}\cdot (0,0,1)=|\vec{v}|\cos \gamma \Rightarrow \cos^2 \gamma =\frac{v_z^2}{|\vec{v}|^2}$

$\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta +\cos^2 \gamma = \frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{|\vec{v}|^2}=\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{v}|^2}=1$

Takk!




Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4470
Registrert: 12/12-2008 12:44

Drezky skrev:
plutarco skrev:Hint:

Dette er altså galt?









Du har selvfølgelig rett at jeg glemmer å ta med cosinus verdien til vinkelen mellom vektorene..
Ser ikke helt rett ut dette. I linje nr. 3 har du kvadrert høyresida, mens du har omskrevet venstresida. Det er heller ikke riktig at $|\vec{u}||\vec{v}|=|\vec{u}\cdot \vec{v}|$, som du selv påpeker. I tillegg er det problematisk med implikasjonene her. Du starter med det du skal vise, og så utleder noe. Generelt sett skal man være forsiktig med å skrive bevis på denne måten, med mindre man er svært nøye med at implikasjonene går begge veier mellom hvert steg.

Det er ryddigere å starte med noe vi vet er sant, og så utlede det vi skal vise. Start med at

. Nå vet vi i tillegg at $\cos x\leq 1$ for alle x. Dermed følger det at

$\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |*\cos\alpha\leq \left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |$.

Nå er $\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right | = (|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2$. Resten overlater jeg til deg.
Svar