Primidealer og snitt

[Kake med tau]

Hei!

Jeg leste at hvis:

[tex]\phi: A \rightarrow B[/tex] er en ringhomomorfi, [tex]A\subseteq B[/tex]
, og [tex]P\subseteq B[/tex] et primideal, så vil [tex]P\cap A \subseteq A[/tex] være et primideal.

Jeg er ikke overbevist om hvorfor det er sånn, og har tenkt noe slikt:
Hvis [tex]a\cdot b\in A\cap P[/tex] så er [tex]a\cdot b \in A[/tex] og [tex]a\cdot b \in P[/tex]. Siden [tex]a, b \in A[/tex] og [tex]P[/tex] er et primideal har vi:
[tex]a \in A\cap P[/tex] eller [tex]b\in A\cap P[/tex] så [tex]A\cap P[/tex] er et primideal. Høres dette fornuftig ut? (Eller er det en enklere forklaring? Er klar over at [tex]\phi^{-1}[P]=P'\subseteq A[/tex])

Jeg prøvde å teste dette på homomorfien [tex][tex][/tex]\imath :\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}[/tex], med [tex][tex][/tex](i+1)\subseteq \mathbb{Z}[/tex], og fikk:
[tex][tex][/tex]\frac{\mathbb{Z}}{(i+1)}\cong \frac{\mathbb{Z}[x]}{(x^2+1,x+1)}\cong \frac{\mathbb{Z}[x]}{(x-1,x+1)}[/tex], siden [tex]x-1=x(x+1)-(x^2+1)[/tex], så:
[tex]\frac{\mathbb{Z}[x]}{(i+1)}\cong \frac{\mathbb{Z}[x]}{(2, 1+x)}\cong \mathbb{Z}_2[/tex]. [tex][tex][/tex](i+1)\subseteq \mathbb{Z}[/tex] er et primideal (maksimalt), så [tex](i+1)\cap \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[/tex] burde være et primideal i [tex]\mathbb{Z}[/tex], men er ikke [tex](i+1)\cap \mathbb{Z}=\mathbb{Z}[/tex]? Som ikke er et primideal?

(Edit: fant ut at [tex](i+1)\cap \mathbb{Z}=(2)[/tex])

[Gustav]

Hei!

Jeg leste at hvis:

[tex]\phi: A \rightarrow B[/tex] er en ringhomomorfi, og [tex]P\subseteq B[/tex] et primideal, så vil [tex]P\cap A \subseteq A[/tex] være et primideal.

De gir vel strengt tatt ingen mening å snakke om $P\cap A$ når $P$ er delmengde av $B$, og $A$ og $B$ generelt kan være helt ulike mengder. Mener du $\phi^{-1}(P)\cap A$ eller?

[Kake med tau]

Hei!

Jeg leste at hvis:

[tex]\phi: A \rightarrow B[/tex] er en ringhomomorfi, og [tex]P\subseteq B[/tex] et primideal, så vil [tex]P\cap A \subseteq A[/tex] være et primideal.

De gir vel strengt tatt ingen mening å snakke om $P\cap A$ når $P$ er delmengde av $B$, og $A$ og $B$ generelt kan være helt ulike mengder. Mener du $\phi^{-1}(P)\cap A$ eller?

Beklager, du har rett! Glemte å si at [tex]A\subseteq B[/tex]

[Gustav]

[tex]\phi: A \rightarrow B[/tex] er en ringhomomorfi, [tex]A\subseteq B[/tex], og [tex]P\subseteq B[/tex] et primideal, så vil [tex]P\cap A \subseteq A[/tex] være et primideal.

Du må vel strengt tatt også vise at $P\cap A$ er et ideal i $A$.

Først ser vi at $P\cap A$ er ikketom siden $0\in P$ og $0\in A$, så $0\in P\cap A$.

For alle $x\in P\cap A$ og $a\in A$ så vil $x\cdot a$ og $a\cdot x$ være elementer i $A$ siden $A$ er lukket under multiplikasjon, som en ring. $x\cdot a$ og $a\cdot x$ er også elementer i $P$ siden $P$ er et ideal. Dermed er $x\cdot a$ og $a\cdot x$ elementer i $P\cap A$.

Vis også at $(P\cap A,+)$ er en undergruppe av $(A,+)$.

Beviset ditt for at $P\cap A$ er prim i $A$ ser riktig ut.

[Kake med tau]

[tex]\phi: A \rightarrow B[/tex] er en ringhomomorfi, [tex]A\subseteq B[/tex], og [tex]P\subseteq B[/tex] et primideal, så vil [tex]P\cap A \subseteq A[/tex] være et primideal.

Du må vel strengt tatt også vise at $P\cap A$ er et ideal i $A$.

Først ser vi at $P\cap A$ er ikketom siden $0\in P$ og $0\in A$, så $0\in P\cap A$.

For alle $x\in P\cap A$ og $a\in A$ så vil $x\cdot a$ og $a\cdot x$ være elementer i $A$ siden $A$ er lukket under multiplikasjon, som en ring. $x\cdot a$ og $a\cdot x$ er også elementer i $P$ siden $P$ er et ideal. Dermed er $x\cdot a$ og $a\cdot x$ elementer i $P\cap A$.

Vis også at $(P\cap A,+)$ er en undergruppe av $(A,+)$.

Beviset ditt for at $P\cap A$ er prim i $A$ ser riktig ut.

Takk for hjelpen!

[Kake med tau]

En annen ting jeg lurer på i samme gate:

Hvis du har en inklusjon [tex]i:A\rightarrow B[/tex], [tex]A \subseteq B[/tex], og [tex]P\subseteq B[/tex] er en mengde, er da [tex]i^{-1}\left [ P \right ]=A\cap P[/tex] ?
Har tenkt slik:
Må vise at [tex]A\cap P \subseteq i^{-1}\left [ P \right ][/tex] og [tex]i^{-1}\left [ P \right ] \subseteq A\cap P[/tex]

• [tex]A\cap P \subseteq i^{-1}\left [ P \right ][/tex]:
  Anta [tex]x \in A\cap P[/tex] da [tex]x\in P\Rightarrow i(x)\in P\Rightarrow x\in i^{-1}\left [ P \right ][/tex]
• [tex]i^{-1}\left [ P \right ] \subseteq A\cap P[/tex]:
  Anta [tex]x \in i^{-1}\left [ P \right ][/tex], i tillegg har vi [tex]x\in A[/tex], så [tex]i(x)\in P\Rightarrow x\in P\Rightarrow x\in A\cap P[/tex]

Tror dette er riktig, men holder det også for andre funksjoner som ikke nødvendigvis er inklusjoner, som [tex]\phi[/tex], eller er denne automatisk en inklusjon?

[Gustav]

Det ser bra ut. Jeg ville kanskje lagt til en drøfting i tilfellet $A\cap P=\emptyset$.

Generelt gjelder jo ikke beviset for vilkårlige funksjoner.

Moteksempel:

$A=\{1,2,3\}$
$B=\{1,2,3,4\}$
$P=\{3,4\}$
Definér funksjonen $\phi:A\to B$ ved at $\phi(1)=2, \phi(2)=3,\phi(3)=4$.

Da er $A\cap P=\{3\}$, mens $\phi^{-1}(P)=\{2,3\}$.


Men det fins jo også eksempler på funksjoner som ikke er inklusjoner, men som dette gjelder for.

$A=\{1,2,3\}$
$B=\{1,2,3,4,5\}$
$P=\{3,4\}$
Definér funksjonen $\phi:A\to B$ ved at $\phi(1)=2, \phi(2)=5,\phi(3)=4$.

Da er $A\cap P=\{3\}=\phi^{-1}(P)$.

[Kake med tau]

Det ser bra ut. Jeg ville kanskje lagt til en drøfting i tilfellet $A\cap P=\emptyset$.

Generelt gjelder jo ikke beviset for vilkårlige funksjoner.

Moteksempel:

$A=\{1,2,3\}$
$B=\{1,2,3,4\}$
$P=\{3,4\}$
Definér funksjonen $\phi:A\to B$ ved at $\phi(1)=2, \phi(2)=3,\phi(3)=4$.

Da er $A\cap P=\{3\}$, mens $\phi^{-1}(P)=\{2,3\}$.


Men det fins jo også eksempler på funksjoner som ikke er inklusjoner, men som dette gjelder for.

$A=\{1,2,3\}$
$B=\{1,2,3,4,5\}$
$P=\{3,4\}$
Definér funksjonen $\phi:A\to B$ ved at $\phi(1)=2, \phi(2)=5,\phi(3)=4$.

Da er $A\cap P=\{3\}=\phi^{-1}(P)$.

Takk for svar! Da er jeg overbevist.