Exact sequence Hom-modules

[CharlieEppes]

Given the exact sequence of Z-modules:
(1) [tex]\mathbb{Z} \overset{\cdot 6}{\rightarrow} \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{6} \rightarrow 0[/tex]
Describe the exact sequence:
(2) [tex]0\rightarrow Hom(\mathbb{Z}_{6},\mathbb{Z}_{3}) \rightarrow Hom(\mathbb{Z},\mathbb{Z}_{3}) \rightarrow Hom(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_{3})[/tex]
in simpler terms.

klarer ikke helt se hvordan jeg skal gå frem her; noen tips?
edit: tenker jeg må finne noen isomorphism fra Hom-modulene til noe annet, men klarer ikke finne noen..

[Kake med tau]

Hint: Fra forrige oppgave hadde du [tex]Hom_R(R, M)\cong M[/tex]

[CharlieEppes]

Hint: Fra forrige oppgave hadde du [tex]Hom_R(R, M)\cong M[/tex]

Gjelder dette alltid?
da vil jeg jo ende opp med :
[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{3}[/tex]
og den ser ikke helt rett ut...
en annen ting er jo at jeg ikke har brukt den første sequence'en..
uff.. lang dag, begynner å rote fælt nå

[Gustav]

Hint: Fra forrige oppgave hadde du [tex]Hom_R(R, M)\cong M[/tex]

Gjelder dette alltid?
da vil jeg jo ende opp med :
[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{3}[/tex]
og den ser ikke helt rett ut...
en annen ting er jo at jeg ikke har brukt den første sequence'en..
uff.. lang dag, begynner å rote fælt nå

Betrakter du im og ker av alle homomorfiene i denne eksakte følgen, så ser vi faktisk at de kan være de samme som i den første følgen.

[Kake med tau]

Når du går fra [tex]A\overset{\alpha}{\rightarrow}B\overset{\beta}{\rightarrow}C\rightarrow 0[/tex] til [tex]0\rightarrow Hom(C, N)\overset{\delta}{\rightarrow}Hom(B, N)\overset{\epsilon}{\rightarrow}Hom(A, N)[/tex] så blir:

• [tex]\delta(\phi)=\beta(\phi)[/tex], [tex]\phi\in Hom(C, N)[/tex]
• [tex]\epsilon(\psi)=\alpha(\psi)[/tex], [tex]\psi\in Hom(B, N)[/tex]

Bruker vi dette får vi [tex]\epsilon = 0[/tex], så [tex]=Ker(\epsilon)=\mathbb{Z}_3[/tex] ( i følgen du kom fram til) og [tex]Im(\delta)=\mathbb{Z}_3[/tex], så den er eksakt.

[CharlieEppes]

[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{3}[/tex]
er dette rett da?
at [tex]Hom(\mathbb{Z}_{6},\mathbb{Z}_{3}) \cong \mathbb{Z}_{3}[/tex]
og [tex]Hom(\mathbb{Z},\mathbb{Z}_{3}) \cong \mathbb{Z}_{3}[/tex]
Klarer bare å vise at den første er isomorph med [tex]\mathbb{Z}_{3}[/tex]
Den andre failer jeg på... men det er kanskje ikke vits å vise de, siden vi har at
[tex]\delta(\phi) = \beta(\phi)[/tex] osv..?

[Gustav]

[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{3}[/tex]
er dette rett da?
at [tex]Hom(\mathbb{Z}_{6},\mathbb{Z}_{3}) \cong \mathbb{Z}_{3}[/tex]
og [tex]Hom(\mathbb{Z},\mathbb{Z}_{3}) \cong \mathbb{Z}_{3}[/tex]

La $f\in Hom(\mathbb{Z},\mathbb{Z}_{3})$. $f$ er unikt bestemt av $f(1)$, som kan ta verdiene $0,1,2\in \mathbb{Z}_3$, så vi kan skrive

$Hom(\mathbb{Z},\mathbb{Z}_{3})=\{f_0,f_1,f_2\}$, der $f_n(m)=nm\mod(3)$.

La $\alpha:Hom(\mathbb{Z},\mathbb{Z}_{3})\to\mathbb{Z}_3$ være definert ved at $\alpha(f_n)=n\mod 3$.

Da er $\alpha$ åpenbart bijektiv, og $\alpha(f_n\circ f_m)=\alpha(f_{nm})=nm=\alpha(f_n)\alpha(f_m)$...

Edit: Her skulle man kanskje vise at $\alpha$ er en modulhomomorfi, så $\alpha(f_n+f_m)=\alpha(f_{n+m})=n+m=\alpha(f_n)+\alpha(f_m)$, og $k\alpha(f_n)=kn=\alpha(kf_{n})=\alpha(f_{kn})$.

Fra [tex]0 \overset{a}\rightarrow \mathbb{Z}_{3} \overset{b}\rightarrow \mathbb{Z}_{3} \overset{c}\rightarrow \mathbb{Z}_{3}[/tex], så ser vi at

im(a)=0=ker(b). Dermed må b være injektiv, så b(1)=1 eller 2, og b er surjektiv, dvs. at $im(b)=\mathbb{Z}_3=ker(c)$. Da må c være nullhomomorfien.

[CharlieEppes]

aaah, wow, det var slik jeg gjorde, haha, men var så usikker på måten jeg gjorde det at jeg trodde det var feil...
men takk for hjelpen igjen..