Z/(6) x Z/(9) tensor product

[CharlieEppes]

Consider the ring [tex]\mathbb{Z}[/tex].
a. Calculate [tex]\mathbb{Z}/(6) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(9)[/tex].
b. Calculate [tex]\mathbb{Z}/(5) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(7)[/tex].

Litt usikker på hva man egentlig skal regne ut, men tolket det slik da;
a. bruker identiteten
[tex]A/I \otimes_{A} A/J \cong A/(I+J)[/tex]
og får
[tex]\mathbb{Z}/(6) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(9) \cong \mathbb{Z}/((6)+(9))[/tex];

b. samme her gir :
[tex]\mathbb{Z}/(5) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(7) \cong \mathbb{Z}/((5)+(7))[/tex]

Er dette helt på tur eller er jeg inne på det?

[Kake med tau]

Du er på rett spor. Hva er [tex](6)+(9)[/tex], og hva er [tex](5)+(7)[/tex]?
Identiteten du brukte følger av den Euklidske algoritmen ([tex]ax+by=\gcd(a, b)[/tex])

[CharlieEppes]

Du er på rett spor. Hva er [tex](6)+(9)[/tex], og hva er [tex](5)+(7)[/tex]?
Identiteten du brukte følger av den Euklidske algoritmen ([tex]ax+by=\gcd(a, b)[/tex])

vi har for
[tex]\gcd(5,7) = 1 \implies (5)+(7) = (1) = \mathbb{Z}[/tex]
og
[tex]\gcd(6,9) = 3 \implies (6) + (9) = (3)[/tex]
?

[Kake med tau]

Du er på rett spor. Hva er [tex](6)+(9)[/tex], og hva er [tex](5)+(7)[/tex]?
Identiteten du brukte følger av den Euklidske algoritmen ([tex]ax+by=\gcd(a, b)[/tex])

vi har for
[tex]\gcd(5,7) = 1 \implies (5)+(7) = (1) = \mathbb{Z}[/tex]
og
[tex]\gcd(6,9) = 3 \implies (6) + (9) = (3)[/tex]
?

Jepp! Og da ser du at den ene blir [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] mens den andre blir [tex]0[/tex]

[CharlieEppes]

Du er på rett spor. Hva er [tex](6)+(9)[/tex], og hva er [tex](5)+(7)[/tex]?
Identiteten du brukte følger av den Euklidske algoritmen ([tex]ax+by=\gcd(a, b)[/tex])

vi har for
[tex]\gcd(5,7) = 1 \implies (5)+(7) = (1) = \mathbb{Z}[/tex]
og
[tex]\gcd(6,9) = 3 \implies (6) + (9) = (3)[/tex]
?

Jepp! Og da ser du at den ene blir [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] mens den andre blir [tex]0[/tex]

herlig ! sliter litt med å forstå tensor konseptet så disse oppgavene blir litt forvirrende ettersom jeg ikke vet hva jeg regner på sånn egentlig...
a.
[tex]\mathbb{Z}/(6) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(9) \cong \mathbb{Z}/(3) = \mathbb{Z}_{3}[/tex]
b.
[tex]\mathbb{Z}/(5) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(7) \cong \mathbb{Z}/(1) \cong \mathbb{Z}/\mathbb{Z} \cong 0[/tex]

[Gustav]

Consider the ring [tex]\mathbb{Z}[/tex].
a. Calculate [tex]\mathbb{Z}/(6) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(9)[/tex].

Det kan jo kanskje være instruktivt å også sjekke ved direkte utregning at [tex]\mathbb{Z}/(6) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/(9)\cong \mathbb{Z}_3[/tex], slik at man får mer følelse for hva et tensorprodukt er.

Fra egenskapene til tensorproduktet ser vi at de fleste elementene "kollapser" på følgende vis:

$0\otimes m=(0\cdot 0)\otimes m=0\otimes (0\cdot m)=0\otimes 0$ ,

og likedan $n\otimes 0=0\otimes 0$

$n\otimes 6=(6n)\otimes 1= 0\otimes 1=0\otimes 0$

$n\otimes 7=n\otimes (6+1)=n\otimes 6+n\otimes 1=0\otimes 1+n\otimes 1=(0+n)\otimes 1=n\otimes 1$.

$1\otimes 7=1\otimes 1$
$2\otimes 7=2\otimes 1$
$3\otimes 7=3\otimes 1=(3+6)\otimes 1=1\otimes 9=0\otimes 0$
$4\otimes 7=4\otimes 1=1\otimes 1$
$5\otimes 7=5\otimes 1 = 2\otimes 1$

osv.

Så $\mathbb{Z}/(6) \otimes \mathbb{Z}/(9)=\{0\otimes 0, 1\otimes 1, 2\otimes 1\}$ er en abelsk gruppe under addisjon der

$1\otimes 1 + 1\otimes 1 = 2\otimes 1$
$2\otimes 1+2\otimes 1 = 1\otimes 1$
$1\otimes 1 + 2\otimes 1 = 0\otimes 0$

Denne kan til slutt gjøres til en $\mathbb{Z}$-modul ved at vi definerer multiplikasjonen ved at $r\cdot (n\otimes m)=(rn)\otimes m=n\otimes (rm)$

[CharlieEppes]

Dette var veldig bra forklart og instruktivt.
Fikk litt mer forståelse av å se på den "fullstendige" utregningen
takk takk