Prove that tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
tar gjerne imot noen tips til måter å vise dette
homeomorfi
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
CharlieEppes
- Cantor
- Posts: 141
- Joined: 01/10-2014 17:26
Sliter med å vise dette uten å bare referere til calculus :/
Prove that tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
tar gjerne imot noen tips til måter å vise dette
Prove that tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
tar gjerne imot noen tips til måter å vise dette
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
VISCharlieEppes wrote:Sliter med å vise dette uten å bare referere til calculus :/
Prove that tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
tar gjerne imot noen tips til måter å vise dette
tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
prøver meg, vi setter:
[tex]f(x)=\arctan(x)=y[/tex]
der
[tex]tan(y)=x[/tex]
som er surjektiv, bijektiv og kontinuerlig.
for eksempel
[tex](a,b) \rightarrow (0, b-a) \rightarrow (0,1) \rightarrow (0, d-c) \rightarrow (c, d)[/tex]
da er:
[tex](a, b)\,\,\text homomorf\,\, til\,\, (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})[/tex]
[tex](\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\,\,\text homomorf\,\, til\,\,R[/tex]
[tex](a, b)\,\,\text homomorf\,\, til\,\,R[/tex]
holder dette?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
CharlieEppes
- Cantor
- Posts: 141
- Joined: 01/10-2014 17:26
mer eller mindre bare vist til egenskaper vi lærte i calculus om tangens funksjonen, uten å vise så mye.
Dette er vell de punktene jeg trenger;
* $f$ is a bijection (one-to-one and onto),
* $f$ is continuous,
* the inverse function $f^{−1}$ is continuous ($f$ is an open mapping).
Så jeg har vell i grunn bare svart på disse ut i fra hva man vet om funksjonen fra typisk calculus.
Dette er vell de punktene jeg trenger;
* $f$ is a bijection (one-to-one and onto),
* $f$ is continuous,
* the inverse function $f^{−1}$ is continuous ($f$ is an open mapping).
Så jeg har vell i grunn bare svart på disse ut i fra hva man vet om funksjonen fra typisk calculus.
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
-
CharlieEppes
- Cantor
- Posts: 141
- Joined: 01/10-2014 17:26
joda, dette er jo noe det samme jeg gjorde, lurte mer på om det var en annen måte som gjerne bruker mer fra topologien.Janhaa wrote: prøver meg, vi setter:
[tex]f(x)=\arctan(x)=y[/tex]
der
[tex]tan(y)=x[/tex]
som er surjektiv, bijektiv og kontinuerlig.
for eksempel
holder dette?
gjerne som viser kontinuiteten og slikt.
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Det går fint an å bevise dette med mer "topologiske metoder". Tror det da er lurt å bruke rekkedefinisjonen av tan x og arctan x. Hvis du antar at disse er inverser av hverandre på intervallet, så følger jo bijektiviteten automatisk, og du behøver kun bevise kontinuitet.CharlieEppes wrote: joda, dette er jo noe det samme jeg gjorde, lurte mer på om det var en annen måte som gjerne bruker mer fra topologien.
gjerne som viser kontinuiteten og slikt.
Du kan rimelig enkelt bevise at summer av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige, ved bruk av definisjonen av kontinuerlige avbildninger fra topologien, samt å uttrykke sum av to funksjoner som en komposisjon av kontinuerlige funksjoner.
Da koker det hele ned til å vise at avbildninger på formen $f(x):=ax^n$ er kontinuerlige.
Det er da nok å vise at inversbildet av åpne intervaller er åpen, siden åpne intervaller utgjør en basis for standardtopologien på $\mathbb{R}$.
plutarco, holder dette på eksamen i abstrakt algebra ala MAT2200 UiO?Janhaa wrote:VIStan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.CharlieEppes wrote:Sliter med å vise dette uten å bare referere til calculus :/
Prove that tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
tar gjerne imot noen tips til måter å vise dette
prøver meg, vi setter:
[tex]f(x)=\arctan(x)=y[/tex]
der[tex]tan(y)=x[/tex]
som er surjektiv, bijektiv og kontinuerlig.for eksempel
[tex](a,b) \rightarrow (0, b-a) \rightarrow (0,1) \rightarrow (0, d-c) \rightarrow (c, d)[/tex]
da er:[tex](a, b)\,\,\text homomorf\,\, til\,\, (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})[/tex]
[tex](\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\,\,\text homomorf\,\, til\,\,R[/tex]
[tex](a, b)\,\,\text homomorf\,\, til\,\,R[/tex]
holder dette?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Spørsmålet har vel ikke så mye med abstrakt algebra å gjøre?
Men man kan betrakte og løse det enten i lys av reell analyse eller bruke definisjoner fra topologi. Forskjellen er at kontinuitet er definert via $\epsilon - \delta$ i analysen, mens i topologien er en avbildning kontinuerlig dersom inversbildet av åpne mengder er åpen. Definisjonene er selvsagt ekvivalente for funksjoner fra og til R.
Jeg stusser også over at du har skrevet homomorfi, når det her er snakk om homeomorfi. Det er to ulike begreper.
Men man kan betrakte og løse det enten i lys av reell analyse eller bruke definisjoner fra topologi. Forskjellen er at kontinuitet er definert via $\epsilon - \delta$ i analysen, mens i topologien er en avbildning kontinuerlig dersom inversbildet av åpne mengder er åpen. Definisjonene er selvsagt ekvivalente for funksjoner fra og til R.
Jeg stusser også over at du har skrevet homomorfi, når det her er snakk om homeomorfi. Det er to ulike begreper.
blanda homomorphism med homeomorphismplutarco wrote:Spørsmålet har vel ikke så mye med abstrakt algebra å gjøre?
Men man kan betrakte og løse det enten i lys av reell analyse eller bruke definisjoner fra topologi. Forskjellen er at kontinuitet er definert via $\epsilon - \delta$ i analysen, mens i topologien er en avbildning kontinuerlig dersom inversbildet av åpne mengder er åpen. Definisjonene er selvsagt ekvivalente for funksjoner fra og til R.
Jeg stusser også over at du har skrevet homomorfi, når det her er snakk om homeomorfi. Det er to ulike begreper.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]