Konvergens

[Gustav]

1. La $(x_n)$ være en følge av reelle tall slik at $\lim_{n\to\infty}(x_n-x_{n-1})=0$. Vis at $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}=0$

2. (Putnam) La $(x_n)$ være en følge av reelle tall slik at $\lim_{n\to\infty}(x_n-x_{n-2})=0$. Vis at $\lim_{n\to\infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{n}=0$

[stensrud]

Jeg blir mobba litt for at analysen min ikke er helt rigorøs, men jeg prøver meg likevel:

1) Definer $d_n=x_{n+1}-x_n$. Siden $(d_n)$ konvergerer mot $0$ finnes det for hver $\varepsilon>0$ en $k$ slik at $|d_n|<\varepsilon $ for alle $n\geq k$. Da er $|x_{n+x}|\leq |x_k|+x\varepsilon$ for alle naturlige tall $x$, og
\[ L=\lim_{x\to \infty}\frac{|x_{k+x}|}{k+x}< \lim_{x\to \infty} \frac{|x_k|+x\varepsilon}{k+x}=\varepsilon. \]
(Ulikheten er streng fordi $(d_n)$ konvergerer mot $0$). $L$ er ikke-negativ og mindre enn alle reelle tall, og da må $L=0$.

2) Sett $y_n=(-1)^n(x_{n}-x_{n-1})$. Problemet er nå ekvivalent med å vise at
\[ \lim_{n\to \infty}\frac{y_n}{n} \]gitt
\[ \lim_{n\to \infty}y_n-y_{n-1}=0, \]som er det samme vi viste i 1).

EDIT: Hvilken putnam er dette fra?

[Gjest]

plutarco, er dette en oppgave som du lurer på? Så ingen spørsmålstegn

[DennisChristensen]

Jeg blir mobba litt for at analysen min ikke er helt rigorøs, men jeg prøver meg likevel:

1) Definer $d_n=x_{n+1}-x_n$. Siden $(d_n)$ konvergerer mot $0$ finnes det for hver $\varepsilon>0$ en $k$ slik at $|d_n|<\varepsilon $ for alle $n\geq k$. Da er $|x_{n+x}|\leq |x_k|+x\varepsilon$ for alle naturlige tall $x$, og
\[ L=\lim_{x\to \infty}\frac{|x_{k+x}|}{k+x}< \lim_{x\to \infty} \frac{|x_k|+x\varepsilon}{k+x}=\varepsilon. \]
(Ulikheten er streng fordi $(d_n)$ konvergerer mot $0$). $L$ er ikke-negativ og mindre enn alle reelle tall, og da må $L=0$.

Ingen store problemer med analysen her altså, men litt uheldig å bruke $x$ som variabel mot slutten av oppgave 1). Dessuten trenger du ikke streng ulikhet. Gitt $\varepsilon >0$ vet vi at det finnes $K\in\mathbb{N}$ slik at for alle $j\geq 0$ har vi at $|x_{K+j}| \leq |x_{K}| + \varepsilon j$, så $$0 \leq |\frac{x_{K+j}}{K + j}| \leq \frac{|x_K| + j\varepsilon}{K+j} \rightarrow \varepsilon\text{ når }j \rightarrow \infty.$$

Dermed har vi at $0 \leq \lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{x_n}{n}| \leq \varepsilon.$
Dette holder for alle $\varepsilon$, så vi konkluderer med at grensen er lik 0.

[Gustav]

plutarco, er dette en oppgave som du lurer på? Så ingen spørsmålstegn

Nei, jeg har løst oppgaven fra før. Dette er jo underforumet for nøtter.

EDIT: Hvilken putnam er dette fra?

1970-utgaven trur jeg: Problem A4 her https://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/putn70.html

[stensrud]

Ingen store problemer med analysen her altså, men litt uheldig å bruke $x$ som variabel mot slutten av oppgave 1). Dessuten trenger du ikke streng ulikhet. Gitt $\varepsilon >0$ vet vi at det finnes $K\in\mathbb{N}$ slik at for alle $j\geq 0$ har vi at $|x_{K+j}| \leq |x_{K}| + \varepsilon j$, så $$0 \leq |\frac{x_{K+j}}{K + j}| \leq \frac{|x_K| + j\varepsilon}{K+j} \rightarrow \varepsilon\text{ når }j \rightarrow \infty.$$

Dermed har vi at $0 \leq \lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{x_n}{n}| \leq \varepsilon.$
Dette holder for alle $\varepsilon$, så vi konkluderer med at grensen er lik 0.

Enig i crappy notasjon og at jeg ikke trenger streng ulikhet, men ulikheten er streng, ikke sant? Eller tar jeg helt feil?

[DennisChristensen]

Ingen store problemer med analysen her altså, men litt uheldig å bruke $x$ som variabel mot slutten av oppgave 1). Dessuten trenger du ikke streng ulikhet. Gitt $\varepsilon >0$ vet vi at det finnes $K\in\mathbb{N}$ slik at for alle $j\geq 0$ har vi at $|x_{K+j}| \leq |x_{K}| + \varepsilon j$, så $$0 \leq |\frac{x_{K+j}}{K + j}| \leq \frac{|x_K| + j\varepsilon}{K+j} \rightarrow \varepsilon\text{ når }j \rightarrow \infty.$$

Dermed har vi at $0 \leq \lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{x_n}{n}| \leq \varepsilon.$
Dette holder for alle $\varepsilon$, så vi konkluderer med at grensen er lik 0.

Enig i crappy notasjon og at jeg ikke trenger streng ulikhet, men ulikheten er streng, ikke sant? Eller tar jeg helt feil?

Det kommer jo an på hvordan du definerer $K$ fra $\varepsilon$, men uansett om man har streng ulikhet mellom hvert ledd i to rekker betyr ikke nødvendigvis dette at det vil være streng ulikhet mellom grensene deres. Det vil si, gitt to konvergerende rekker $(a_n)$ og $(b_n)$ har vi $\forall n a_n < b_n \nRightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} a_n < \lim_{n\rightarrow\infty} b_n.$ For å se dette setter du $a_n = 0$ og $b_n = \frac{1}{n}$.

Derimot er det sant at $\forall n a_n \leq b_n \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} a_n \leq \lim_{n\rightarrow\infty} b_n$, så moralen er enkel: Sikt alltid på $\leq$ når du jobber med grenseverdier.