Bevis for deriverte av e^x

[Markus]

Hei!

Er dette et ok bevis for at $e^x$ er sin egen deriverte? Og er det "lovlig" å bruke andre derivasjonsregler i et slikt bevis, eller bør man kun bruke def. av den deriverte? I dette beviset er jo derivasjonsregelen $(a^u{)}^{\prime }=a^u\ast ln(a)\ast (u{)}^{\prime }$ brukt.

$(e^x{)}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{x+\mathrm{\Delta }x}-e^x}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^x\ast e^{\mathrm{\Delta }x}-e^x}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^x(e^{\mathrm{\Delta }x}-1)}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

$=e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)$

For å løse grenseverdien $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]$ bruker jeg L'Hôpitals regel. Jeg har ikke hørt om denne regelen før nå, og ser at den ikke er pensum før på universitetet. Uansett, slik jeg har forstått den kan vi omskrive en grenseverdi $\underset{x\to C}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ til $\underset{x\to C}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, gitt at $\underset{x\to C}{lim}f(x)=\underset{x\to C}{lim}g(x)=0$. Gjerne rett meg hvis jeg har forstått regelen feil.

Videre sier vi at $f(\mathrm{\Delta }x)=e^{\mathrm{\Delta }x}-1$ og $g(\mathrm{\Delta }x)=\mathrm{\Delta }x$.
$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}f(\mathrm{\Delta }x)=e^0-1=1-1=0$
$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}g(\mathrm{\Delta }x)=0$
De to grenseverdiene er like, og kravene for å bruke L'Hopitals regel er dermed oppfylt (?).

Dermed skriver vi om uttrykket; $e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)=e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\prime }\ast e^{\mathrm{\Delta }x}}{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\prime }}\right]\right)$ Det er her jeg bruker derivasjonsregelen $(a^u{)}^{\prime }=a^u\ast ln(a)\ast (u{)}^{\prime }$, og jeg lurer på om man skal holde seg unna slike derivasjonsregeler i bevis som har "direkte tilknytning" til derivasjonsregelen?

TIlbake til beviset. Vi har nå at;

$(e^x{)}^{\prime }=e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\prime }\ast e^{\mathrm{\Delta }x}\ast ln(e)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\prime }}\right]\right)$

$=e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[e^{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)$

$=e^x\ast \left(e^0\right)$

$=e^x\ast 1=e^{x}Q.E.D$

Jeg vil avslutningsvis takke for all hjelpen jeg har fått av både Matematikk.net sin wiki (utrolig bra, og godt forklart!), samt brukere på forumet som forklarer konsepter o.l. veldig bra. Tusen takk til alle sammen!

[stensrud]

Du antar at $(a^{u(x)}{)}^{\prime }=\ln a\cdot a^{u(x)}\cdot u^{\prime }(x)$, noe som i og for seg er helt ok. Men hvorfor bruker du da definisjonen av den deriverte for å utlede $(e^x{)}^{\prime }=e^x$? Du kan jo bare sette $a=e$ og $u(x)=x$ i formelen du antar! Forresten er det vel vanligst å bevise det du antar ved hjelp av $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, altså i motsatt rekkefølge.

[Markus]

Du antar at $(a^{u(x)}{)}^{\prime }=\ln a\cdot a^{u(x)}\cdot u^{\prime }(x)$, noe som i og for seg er helt ok. Men hvorfor bruker du da definisjonen av den deriverte for å utlede $(e^x{)}^{\prime }=e^x$? Du kan jo bare sette $a=e$ og $u(x)=x$ i formelen du antar! Forresten er det vel vanligst å bevise det du antar ved hjelp av $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, altså i motsatt rekkefølge.

Takk for innspill

Jeg ville ikke bruke derivasjonsregelen for $a^{u(x)}$, til å starte med, da jeg da føler at jeg egentlig ikke har bevist noe, men kun brukt en regel, hvis du forstår hva jeg mener. Jeg skal se på beviset den andre veien også, da det hørtes smart ut. Innebærer den veien integralregning?

Der jeg går over til å bruke L'Hopitals regel for å finne ut grenseverdien er jo der jeg bruker derivasjonsregelen for $\text{Prime causes double exponent: use braces to clarify}$. Er det en annen måte jeg kan komme meg forbi hinderet jeg står ovenfor her, annen enn å bruke L'Hopitals regel?

Igjen, takk for innspill!

[Aleks855]

Jeg synes den fineste måten er ved implisitt derivasjon.

La $y=e^x$.

Tar vi den naturlige logaritmen på begge sider, får vi $\ln y=x$

Deriverer vi nå mhp. $y$ på begge sider skjer det noe fint. Har du lyst til å prøve videre herfra?

Her er resten av løsninga:

[+] Skjult tekst

$x=\ln y$

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{y}$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1/y}$ (fra regelen om derivert av invers funksjon)

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y=e^x$

[Markus]

Jeg synes den fineste måten er ved implisitt derivasjon.

La $y=e^x$.

Tar vi den naturlige logaritmen på begge sider, får vi $\ln y=x$

Deriverer vi nå mhp. $y$ på begge sider skjer det noe fint. Har du lyst til å prøve videre herfra?

Her er resten av løsninga:

[+] Skjult tekst

$x=\ln y$

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{y}$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1/y}$ (fra regelen om derivert av invers funksjon)

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y=e^x$

Implisitt derivasjon har jeg aldri hørt om. Starter med R2 på VG3 til neste år. Er implisitt derivasjon R2-pensum eller universitetspensum? Hvis du kunne gitt en kjapp forklaring av beviset og implisitt derivasjon, hadde jeg satt stor pris på det!

Ha en fortsatt fin kveld!

[Aleks855]

http://udl.no/v/matematikk-blandet/deri ... asjon-1-46

http://udl.no/v/matematikk-blandet/deri ... asjon-2-47

En liten innføring.

[Guest]

Jeg synes den fineste måten er ved implisitt derivasjon.

La $y=e^x$.

Tar vi den naturlige logaritmen på begge sider, får vi $\ln y=x$

Deriverer vi nå mhp. $y$ på begge sider skjer det noe fint. Har du lyst til å prøve videre herfra?

Her er resten av løsninga:

[+] Skjult tekst

$x=\ln y$

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{y}$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1/y}$ (fra regelen om derivert av invers funksjon)

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y=e^x$

Implisitt derivasjon har jeg aldri hørt om. Starter med R2 på VG3 til neste år. Er implisitt derivasjon R2-pensum eller universitetspensum? Hvis du kunne gitt en kjapp forklaring av beviset og implisitt derivasjon, hadde jeg satt stor pris på det!

Ha en fortsatt fin kveld!

Hvordan kom du over L'Hopital i VG2?

[Markus]

Hvordan kom du over L'Hopital i VG2?

Når jeg hadde grenseverdien $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]$, visste jeg ikke hvordan jeg skulle løse den. Derfor gikk jeg i Symbolab (steg-for-steg kalk.) og skrev den inn. Et steg sa at jeg skulle Apply L'Hôpitals rule, og det var slik jeg kom over L'Hôpital.

[Gustav]

Hei!

Er dette et ok bevis for at $e^x$ er sin egen deriverte? Og er det "lovlig" å bruke andre derivasjonsregler i et slikt bevis, eller bør man kun bruke def. av den deriverte? I dette beviset er jo derivasjonsregelen $(a^u{)}^{\prime }=a^u\ast ln(a)\ast (u{)}^{\prime }$ brukt.

$(e^x{)}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{x+\mathrm{\Delta }x}-e^x}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^x\ast e^{\mathrm{\Delta }x}-e^x}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^x(e^{\mathrm{\Delta }x}-1)}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

$=e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)$

For å løse grenseverdien $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]$ bruker jeg L'Hôpitals regel. Jeg har ikke hørt om denne regelen før nå, og ser at den ikke er pensum før på universitetet. Uansett, slik jeg har forstått den kan vi omskrive en grenseverdi $\underset{x\to C}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ til $\underset{x\to C}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, gitt at $\underset{x\to C}{lim}f(x)=\underset{x\to C}{lim}g(x)=0$. Gjerne rett meg hvis jeg har forstått regelen feil.

Videre sier vi at $f(\mathrm{\Delta }x)=e^{\mathrm{\Delta }x}-1$ og $g(\mathrm{\Delta }x)=\mathrm{\Delta }x$.
$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}f(\mathrm{\Delta }x)=e^0-1=1-1=0$
$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}g(\mathrm{\Delta }x)=0$
De to grenseverdiene er like, og kravene for å bruke L'Hopitals regel er dermed oppfylt (?).

Dermed skriver vi om uttrykket; $e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)=e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\prime }\ast e^{\mathrm{\Delta }x}}{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\prime }}\right]\right)$ Det er her jeg bruker derivasjonsregelen $(a^u{)}^{\prime }=a^u\ast ln(a)\ast (u{)}^{\prime }$, og jeg lurer på om man skal holde seg unna slike derivasjonsregeler i bevis som har "direkte tilknytning" til derivasjonsregelen?

TIlbake til beviset. Vi har nå at;

$(e^x{)}^{\prime }=e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\prime }\ast e^{\mathrm{\Delta }x}\ast ln(e)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\prime }}\right]\right)$

$=e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[e^{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)$

$=e^x\ast \left(e^0\right)$

$=e^x\ast 1=e^{x}Q.E.D$

Jeg vil avslutningsvis takke for all hjelpen jeg har fått av både Matematikk.net sin wiki (utrolig bra, og godt forklart!), samt brukere på forumet som forklarer konsepter o.l. veldig bra. Tusen takk til alle sammen!

Du bruker jo det du skal vise i argumentasjonen, så beviset er sirkulært, og funker ikke.

Det første du må gjøre er å bestemme deg for hvilken definisjon av $e^x$ du skal bruke.

En av definisjonene er at $e^x$ er den unike funksjonen som er sin egen derivert for alle $x$ (i $\mathbb{R}$) og lik 1 når x=0. Da følger jo konklusjonen du vil frem til automatisk, så det er kanskje ikke så interessant.

En annen og ekvivalent definisjon er som en taylorrekke, altså $e^x=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i!}$. Deriverer du leddvis blir $(e^x{)}^{\prime }=(\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i!}{)}^{\prime }=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{x^i}{i!}{)}^{\prime }=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{i{x}^{i-1}}{i!}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{i-1}}{(i-1)!}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i!}=e^x$.

Eventuelt kunne man brukt grenseverdidefinisjonen av den deriverte og satt inn taylorrekka til $e^x$:

$(e^x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=e^x\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sum _i\frac{h^i}{i!}-1}{h}=e^x\underset{h\to 0}{lim}1+\frac{h}{2!}+\frac{h^2}{3!}+\cdots =e^x$.

En tredje er som grenseverdien $e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n$:

$(e^x{)}^{\prime }=(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n{)}^{\prime }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}((1+\frac{x}{n}{)}^n{)}^{\prime }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^{n-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(1+\frac{x}{n}{)}^n}{1+\frac{x}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$

PS: Leddvis derivasjon av taylorrekka er lov fordi taylorrekker konvergerer uniformt på kompakte delmengder. Ombytte av grensen og derivasjonen i siste utledning er lov fordi funksjonsfølgen $f_n(x)=(1+\frac{x}{n}{)}^n$ konvergerer uniformt på kompakte delmengder. Husk at derivasjon bare er en grenseverdi. Har vi uniform konvergens kan grenser byttes om. I nest siste likhet har jeg brukt at grenseverdien til et produkt er lik produktet av grenseverdiene såfremt begge grensene eksisterer.

[Markus]

Det du skriver med at beviset er sirkulert var det jeg tenkte selv, og det var derfor jeg lurte på om dette beviset var gyldig eller ikke.

Jeg ser at du foreslår en teknikk der du definerer $e^x$, ved hjelp av en Taylorrekke. Vil ikke et bevis ved hjelp av en Taylorrekke også bli sirkulært? Dette fordi en Taylorrekke for $f(x)$ er definert ved $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\ast (x-a{)}^n$, og for å utvikle en Taylorrekke for $f(x)=e^x$, må vi derfor vite den deriverte til $e^x$? Har jeg rett her eller tenker jeg feil? Finnes det andre måter å utvikle en Taylor-rekke på, annen enn ved definisjonen nevnt over?

Jeg må nevne at jeg liker sistnevnte bevis best, der du har definert $e^x$ ved grenseverdien.

[Gustav]

Det du skriver med at beviset er sirkulert var det jeg tenkte selv, og det var derfor jeg lurte på om dette beviset var gyldig eller ikke.

Jeg ser at du foreslår en teknikk der du definerer $e^x$, ved hjelp av en Taylorrekke. Vil ikke et bevis ved hjelp av en Taylorrekke også bli sirkulært? Dette fordi en Taylorrekke for $f(x)$ er definert ved $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\ast (x-a{)}^n$, og for å utvikle en Taylorrekke for $f(x)=e^x$, må vi derfor vite den deriverte til $e^x$? Har jeg rett her eller tenker jeg feil? Finnes det andre måter å utvikle en Taylor-rekke på, annen enn ved definisjonen nevnt over?

Nei, det blir ikke sirkulært, men jeg ser nå at jeg burde brukt ordet potensrekke og ikke taylorrekke her: Vi definerer $e^x$ som potensrekka .... Koeffisientene i potensrekka er sånn sett i prinsippet helt uavhengig av de deriverte av $e^x$. Men denne gitte potensrekka blir jo da lik taylorrekka til e^x når vi i etterkant bruker en annen definisjonen av e^x og så regner ut taylorrekka. Håper dette var klarere.

[Markus]

Det du skriver med at beviset er sirkulert var det jeg tenkte selv, og det var derfor jeg lurte på om dette beviset var gyldig eller ikke.

Jeg ser at du foreslår en teknikk der du definerer $e^x$, ved hjelp av en Taylorrekke. Vil ikke et bevis ved hjelp av en Taylorrekke også bli sirkulært? Dette fordi en Taylorrekke for $f(x)$ er definert ved $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\ast (x-a{)}^n$, og for å utvikle en Taylorrekke for $f(x)=e^x$, må vi derfor vite den deriverte til $e^x$? Har jeg rett her eller tenker jeg feil? Finnes det andre måter å utvikle en Taylor-rekke på, annen enn ved definisjonen nevnt over?

Nei, det blir ikke sirkulært, men jeg ser nå at jeg burde brukt ordet potensrekke og ikke taylorrekke her: Vi definerer $e^x$ som potensrekka .... Koeffisientene i potensrekka er sånn sett i prinsippet helt uavhengig av de deriverte av $e^x$. Men denne gitte potensrekka blir jo da lik taylorrekka til e^x når vi i etterkant bruker en annen definisjonen av e^x og så regner ut taylorrekka. Håper dette var klarere.

Tusen takk for oppklaringen!

Du bruker litt fagterminologi som jeg ikke er helt sikker på, så jeg hadde satt stor pris på en bekreftelse om jeg forstår det du sier eller ikke. Først og fremst, en koeffisient er en faktor til en variabel? I uttrykket $a_{1}x$, så vil da $a_1$ være koeffisienten til variabelen $x$? Er det også rett at en potensrekke har formen $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$? Hvordan kan vi komme fram til $e^x$ sin potensrekke uten å bruke utviklingen til en Taylorrekke?

Videre, når jeg ser tilbake på mitt bevis helt øverst, hadde jeg følgende uttrykk et stykke ute i beviset;

$e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)$

Her konkluderte jeg med at måten å løse opp i denne grenseverdien var ved å bruke L'Hôpitals regel, men når jeg ser på ditt svar, kan jeg jo bruke en Taylorrekke for $e^{\mathrm{\Delta }x}$ ved potensrekken $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Delta }{x}^n}{n!}$. Og herifra kan jeg fullføre beviset mitt følgede;


$e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)$

$e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Delta }{x}^n}{n!}\right)-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)$

$e^x\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]\right)$

Den uendelige summen $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Delta }{x}^n}{n!}$ vil jo resultere i $\frac{\mathrm{\Delta }{x}^0}{0!}+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^1}{1!}+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2}{2!}+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^3}{3!}+..=1+\mathrm{\Delta }x+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2}{2!}+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^3}{3!}+..$

Videre må man ha i bakhodet at alle disse skal deles på $\mathrm{\Delta }x$, hvis vi ser tilbake på uttrykket vi startet med. Vi kan da heller bruke den følgende uendelige summen, og få med denne delingen i sammen slengen; $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Delta }{x}^{n-1}}{n!}$. Hvis vi skriver litt ut av summen får vi da at;

$\frac{\mathrm{\Delta }{x}^{-1}}{0!}+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^0}{1!}+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^1}{2!}+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2}{3!}+..=(\mathrm{\Delta }x{)}^{-1}+1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2!}+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2}{3!}+..$

Når $\mathrm{\Delta }x\to 0$ i tillegg, ser vi at alle ledd der $n\ge 2$ vil bli 0. Derfor vil vi stå igjen med følgende;

$e^x((\mathrm{\Delta }x{)}^{-1}+1-(\mathrm{\Delta }x{)}^{-1})=e^x\ast 1=e^x$

Dette beviset vil da ikke være sirkulært? Det eneste som står igjen er da et bevis på at $e^x$ kan skrives på potensrekken over, uten å bruke en metode der man utvikler en Taylorrekke. Hvordan gjør man dette? Tusen takk for veldig god hjelp plutarco!

[Gustav]

Potensrekke er det samme som power series på engelsk. Det er rekker på formen $a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c{)}^2+...$, der $a_i$-ene kalles koeffisienter, ja.

Hvordan kan vi komme fram til $e^x$ sin potensrekke uten å bruke utviklingen til en Taylorrekke?

Det kan vi fordi vi rett og slett definerer $e^x$ som akkurat den spesifikke potensrekka $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$. Det er ingen utledning av dette, men det er selve definisjonen. Du bør her tenke på $e^x$ som bare et navn på en funksjon av variabelen x, og ikke som et grunntall opphøyd i x. Det fins selvsagt en god grunn til at vi definerer $e^x$ som akkurat denne potensrekka, og det er fordi det da samsvarer med de andre definisjonene av $e^x$.

Her konkluderte jeg med at måten å løse opp i denne grenseverdien var ved å bruke L'Hôpitals regel

Ja,, men da får du problemet med at du må deriverer $e^{\mathrm{\Delta }x}$, som jo er det du faktisk skal bevise hva er. Dermed kan du ikke bruke L´Hopital her.

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

Herfra bruker du bare potensrekkedefinisjonen av $e^x$ ja. Men når du gjør det så får du

$\frac{1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{1!}+\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2!}+...-1}{\mathrm{\Delta }x}$. Så i telleren forsvinner 1 mot -1, og vi står igjen med

$\frac{\frac{\mathrm{\Delta }x}{1!}+\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2!}+...}{\mathrm{\Delta }x}=....$ Så tar du grenseverdien av dette ...


La oss si at vi nå definerer $f(x)=e^x$ som funksjonen som er lik sin derivert for alle x og er slik at f(0)=1. Hva skjer om vi da regner ut taylorrekka til $f(x)$ om x=0? Jo, vi får at koeffisientene er $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{f(0)}{n!}=\frac{1}{n!}$, så taylorrekka blir $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n$! Som er nøyaktig lik den potensrekka som vi brukte som definisjonen tidligere! Da ser du hvordan de to ulike definisjonene samsvarer med hverandre.

[Markus]

Når vi definerer $f(x)=e^x$ på den måten du gjør nå, så forstår jeg hva du mener med at $e^x$ rett og slett bare er definert ved potensrekken $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

PS: Leddvis derivasjon av taylorrekka er lov fordi taylorrekker konvergerer uniformt på kompakte delmengder.

Denne forsto jeg ikke så mye av. Hva vil det si å konvergere uniformt på kompakte delmengder?

[Gustav]

PS: Leddvis derivasjon av taylorrekka er lov fordi taylorrekker konvergerer uniformt på kompakte delmengder.

Denne forsto jeg ikke så mye av. Hva vil det si å konvergere uniformt på kompakte delmengder?

Det er noen tekniske forutsetninger for at man kan bytte om rekkefølgen på grenseverdier, som må være oppfylt for at de bevisene over er riktige. Det fins eksempler på at for visse følger $a_{n,m}$ så er $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n,m}\ne \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n,m}$.

F.eks. hvis $a_{n,m}=\frac{n}{n+m}$, så er $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{n+m}=0$, mens $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{n+m}=1$.

Vi får en lignende situasjon når vi skal ta grenseverdien

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^n}{(n+1)!}$.

Fordi dette betyr egentlig

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=0}^m\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^n}{(n+1)!}$

Det går an å vise at vi her har lov til å bytte om rekkefølgen, slik at vi får

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum _{n=0}^m\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^n}{(n+1)!}$.

Og da blir $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum _{n=0}^m\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^n}{(n+1)!}=1$, så

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum _{n=0}^m\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^n}{(n+1)!}=1$

Poenget er at endringen av rekkefølgen av grensene generelt sett ikke er uproblematisk. Men her går det bra fordi $\sum _{n=0}^m\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^n}{(n+1)!}$ såkalt konvergerer uniformt.

Men, du behøver ikke tenke altfor mye på dette foreløpig. Dette er pensum først på universitetet, trolig i reell analyse.