Linjär algebra

[ted123]

Hej!

Jag behöver lite hjälp med den här uppg, har försökt googlat, men hittar inte,

"visa om att J tillhör M_{n,m}(F) och K tillhör M_{m,m}(F) samt L tillhör M_{n,n,} är inverterbar så gäller att rank(J) = rank(KJL)"

Om någon här inne vill hjälpa mig?

[Guest]

Vis at hvis [tex]\: J\:[/tex] tilhører [tex]\: M_{n,m}(F)\:[/tex] og [tex]\: K \:[/tex] tilhører [tex]\: M_{m,m}(F)[/tex] samt [tex]L[/tex] tillhører [tex]\: M_{n,n,} \:[/tex] og er inverterbar så gjelder at

[tex]\: rank(J) = rank(KJL) \:[/tex]

[ted123]

Vis at hvis [tex]\: J\:[/tex] tilhører [tex]\: M_{n,m}(F)\:[/tex] og [tex]\: K \:[/tex] tilhører [tex]\: M_{m,m}(F)[/tex] samt [tex]L[/tex] tillhører [tex]\: M_{n,n,} \:[/tex] og er inverterbar så gjelder at

[tex]\: rank(J) = rank(KJL) \:[/tex]

ja precis, jag trodde inte LaTeX fungerade här

[ted123]

Hmm, ingen som kan den?

[Kake med tau]

Må ikke [tex]J\in M_{m,n}[/tex]? ([tex]K_{m\times m} J_{n\times m} L_{n\times n}[/tex] er vel ikke definert?)

Lurer på om dette kan fungere: (?)

[tex]\mathbb{R}^n\overset{L}{\rightarrow}\mathbb{R}^n\overset{J}{\rightarrow}\mathbb{R}^m\overset{K}{\rightarrow}\mathbb{R}^m[/tex]

Strategi:
1. Vise at [tex]\text{rank}(KJL)=\text{rank}(JL)[/tex]
2. Vise at [tex]\text{rank}(JL)=\text{rank}(J)[/tex]

1. [tex]\text{col}(KJL)=\{(KJL)\vec{x}|\vec{x}\in\mathbb{R}^n\}=\{(KJ)\vec{y}|\vec{y}\in\mathbb{R}^n\}=\text{col}(KJ)[/tex], så [tex]\text{rank}(KJL)=\text{rank}(JL)[/tex]
2. Av Rank-Nullity er [tex]\text{rank}(KJ)+\text{nullity}(KJ)=n[/tex], og [tex]\text{rank}(J)+\text{nullity}(J)=n[/tex]. Men [tex]\text{nullity}(KJ)=\text{nullity}(J)[/tex], så [tex]\text{rank}(JL)=\text{rank}(J)[/tex]