Taylorpolynomer rest

[Tgang]

La $f(x) = \frac{1}{1-x}$. Vi vil bruke et 2.grads polynom om $x=0$, $P_2(x)$, til å tilnærme funksjonen $f(x)$ på intervallet $I = [-0.4, 0.4]$. Bruk taylors formel til å finne den minste konstanten $c$, slik at $|f(x)-P_2(x) \leq c$

2. Grads taylor-rekke for f(x), var ok å finne,
da fikk jeg $P_2(x) = 1+x+x^2$.

Jeg trodde i utgangspunktet det holdt å se på $f(x)-P_2(x) = \frac{1}{1-x} - (1+x+x^2) = \frac{-x^3}{x-1} = h(x)$
$h(0.4) = 8/75$ slik at $|f(x)-P_2(x)| \leq \frac{8}{75}$ så lenge $ x \leq 0.4$.

Men jeg får feil svar, og mistenker at jeg isteden må bruke lagranges-remainder formel
$E_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$. Jeg skjønner likevel ikke hvordan jeg skal komme i mål her, da n=2, a = 0
bare gir meg $x^3$ som er leddet som kommer etter $x^2$ for taylor-rekka av $f(x)$. Det er noe jeg har misforstått her. Noen kloke hoder som kan hjelpe meg i mål her?

takker på forhånd

[Gustav]

La $f(x) = \frac{1}{1-x}$. Vi vil bruke et 2.grads polynom om $x=0$, $P_2(x)$, til å tilnærme funksjonen $f(x)$ på intervallet $I = [-0.4, 0.4]$. Bruk taylors formel til å finne den minste konstanten $c$, slik at $|f(x)-P_2(x) \leq c$

2. Grads taylor-rekke for f(x), var ok å finne,
da fikk jeg $P_2(x) = 1+x+x^2$.

$E_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$.

$f^{(3)}(s)=\frac{6}{(1-s)^4}$ så $|E_2(x)|= |\frac{x^3}{(1-s)^4}| \leq \frac{0.4^3}{0.6^4}\approx 0.4938...$

[Tgang]

La $f(x) = \frac{1}{1-x}$. Vi vil bruke et 2.grads polynom om $x=0$, $P_2(x)$, til å tilnærme funksjonen $f(x)$ på intervallet $I = [-0.4, 0.4]$. Bruk taylors formel til å finne den minste konstanten $c$, slik at $|f(x)-P_2(x) \leq c$

2. Grads taylor-rekke for f(x), var ok å finne,
da fikk jeg $P_2(x) = 1+x+x^2$.

$E_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$.

$f^{(3)}(s)=\frac{6}{(1-s)^4}$ så $|E_2(x)|= |\frac{x^3}{(1-s)^4}| \leq \frac{0.4^3}{0.6^4}\approx 0.4938...$

Takker så meget!