Maksimum-verdi

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Kay
Abel
Abel
Posts: 685
Joined: 13/06-2016 19:23
Location: Gløshaugen

Fant denne, den var litt interessant. Gitt abc=1 og at a,b,cR+, finn den maksimale verdien av 1(2a+b+c)3+1(2b+c+a)3+1(2c+a+b)3
OYV

Ut fra " symmetrien " i uttrykket vil summen få sin største verdi når

( 2a + b + c )^3 = (a + 2b + c )^3 = ( a + b + 2c )^3

Dette er ekvivalent med at a = b = c = 1

Da blir summen

1/4^3 + 1/4^3 + 1/4^3 = 3/64
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

OYV wrote:Ut fra " symmetrien " i uttrykket vil summen få sin største verdi når

( 2a + b + c )^3 = (a + 2b + c )^3 = ( a + b + 2c )^3
Symmetri alene vil vel ikke implisere annet enn at funksjonen f(a,b,c)=Venstresida av ulikheten, har et lokalt maksimum i a=b=c=1, av Purkiss' prinsipp, https://www.maa.org/sites/default/files ... 78-387.pdf

Problemet er å vise at det lokale maksimumet også er globalt.
mingjun
Cayley
Cayley
Posts: 91
Joined: 18/11-2016 21:13
Location: Det projektive planet

La S være det oppgitte uttrykket. Ved gjentatte anvendelser av AM-GM har vi:

S1(4a2bc4)3+1(4b2ca4)3+1(4c2ab4)3=164(a3/4+b3/4+b3/4)
1643a3/4b3/4b3/43=364.

Likhet er oppnådd når a=b=c.

Edit: hadde et falskt bevis ute i ca.3 min før jeg la merke til det. Forhåpentligvis var det bare meg :?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

mingjun wrote:La S være det oppgitte uttrykket. Ved gjentatte anvendelser av AM-GM har vi:

S1(4a2bc4)3+1(4b2ca4)3+1(4c2ab4)3=164(a3/4+b3/4+b3/4)
1643a3/4b3/4b3/43=364.

Likhet er oppnådd når a=b=c.

Edit: hadde et falskt bevis ute i ca.3 min før jeg la merke til det. Forhåpentligvis var det bare meg :?
Den første ulikheten din skal vel være motsatt vei hvis man benytter AM-GM.

Den andre ulikheten er riktig i seg selv, men det vi ønsker å vise er vel at S364, da det er spørsmål om et maksimum?
mingjun
Cayley
Cayley
Posts: 91
Joined: 18/11-2016 21:13
Location: Det projektive planet

Oisann, det gikk litt raskt i svingene ser jeg. Jeg skal se om jeg klarer å mekke et ikke-jalla bevis i løpet av kvelden.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Det hadde vært interessant å sett en elementær løsning. Problemet ligner på en ulikhet fra imo shortlist 2009 (https://artofproblemsolving.com/communi ... _shortlist), med unntak av føringsbetingelsen. Jeg tenkte først på å homogenisere, og innføre en ny betingelse a+b+c=3, og så bruke Jensen med den konkave funksjonen f(x)=x(x+3)3(0,3), men dette fører til en ny ulikhet jeg ikke helt ser løsningen på.

En annen idé kunne vært å innføre substitusjonen a=xy,b=yz,c=zx slik at betingelsen blir eliminert.
stensrud
Descartes
Descartes
Posts: 438
Joined: 08/11-2014 21:13
Location: Cambridge

Her er hva jeg ville kalt en elementær løsning: Vi viser den litt mer generelle ulikheten
cycabc(2a+b+c)3364
for alle a,b,cR+. Siden denne er homogen kan vi wlog anta at a+b+c=1. Da er
bc(b+c)24=(a1)24,
slik at
cycabc(2a+b+c)3cyca(a1)24(2a+b+c)3=cyca(a1)24(a+1)3.
Anta nå at a,b,c<0.65. Vi skal vise at
a(a1)24(a+1)372569256a,
og tilsvarende for b,c, hvoretter syklisk summering gir den ønskede ulikheten i dette tilfellet. Dette ser ikke spesielt pent ut, men det er mye enklere å finne likhetstilfellene, siden det "kun" innebærer å løse en fjerdegradsligning. Den har en dobbel rot ved a=13 (som ikke burde være altfor overraskende), og da går det greit å finne de to andre røttene, som er 5±42, og disse røttene tilfredsstiller ulikhetene 542<0 og 0.65<5+42. Ved å sjekke ulikheten over for en hvilken som helst verdi i intervallet (0,0.65) så har vi vist at den holder i spesialtilfellet a,b,c<0.65.

Anta tilslutt at a0.65. Med bc(a1)240.3524 er
abccyc1a+10.650.3524(165100+1+1b+1+1c+1),
og siden
1b+1+1c+1=b+c+2b+c+1+bcb+c+2b+c+1=2.651.65,
så er
abccyc1a+10.650.3524(165100+1+1b+1+1c+1)0.650.3524(165100+1+2.651.65),
som (så vidt) er mindre enn 364. Dette fullfører beviset.

EDIT: Rettet et ulikhetstegn som sto feil vei.
Last edited by stensrud on 28/11-2017 14:54, edited 1 time in total.
Markus
Fermat
Fermat
Posts: 767
Joined: 20/09-2016 13:48
Location: NTNU

Fungerer dette? Kan jeg for eksempel ta de antakelsene jeg har tatt?

Vi antar at a=b=c, slik at vi kan bruke AM-GM. Siden abc=1, må da a=b=c=1

AM-GM gir

a+a+b+c4a2bc42a+b+c4a2bc4(2a+b+c)343a341(2a+b+c)3143a43

a+b+b+c4ab2c4a+2b+c4ab2c4(a+2b+c)343b341(a+2b+c)3143b43

a+b+c+c4abc24a+b+2c4abc24(a+b+2c)343c341(a+b+2c)3143c43

I det siste steget på ulikhetene har jeg opphøyd i 1 på begge sider, da snur ulikhetstegnet.

Fra ulikhetene over må maksimumet være:

143a43+143b43+143c43=164(a43+b43+c43)=164(143+143+143)=1643=364
stensrud
Descartes
Descartes
Posts: 438
Joined: 08/11-2014 21:13
Location: Cambridge

Husk at 1/a34=a34a43.
Markus wrote:Fungerer dette? Kan jeg for eksempel ta de antakelsene jeg har tatt?
Vi antar at a=b=c, slik at vi kan bruke AM-GM. Siden abc=1, må da a=b=c=1
AM-GM gir
Her er idéene du bruker riktige, men føringen feil: Vi kan ikke fritt anta a=b=c, siden dette utgjør kun noen få av tilfellene. AM-GM-ulikheten sier at a+b2ab uansett hva a,b og c er, så lenge de er positive. Og da er det ikke noe behov for å anta at a=b=c, siden ulikhetene gjelder uansett. (Det er sant at vi har likhet i AM-GM hvis og bare hvis alle variablene er like store). Her er et eksempel på hvordan man kan føre et AM-GM bevis:

La oss vise ulikheten (x+y)(y+z)(z+x)8xyz for positive x,y,z: Det følger av AM-GM-ulikheten at x+y2xy, og tilsvarende er y+z2yz og z+x2zx. Derfor er
(x+y)(y+z)(z+x)(2xy)(2yz)(2zx)=8xyz,
som ønsket. Vi har likhet hvis og bare hvis x=y=z.

Tilbake til ulikheten i tråden så holder det ikke å bruke AM-GM direkte: Vi kan for eksempel gjøre a34 vilkårlig stor. Jeg har tro på at det går an å løse ulikheten elementært, og i tillegg unngå å dele opp i tilfeller slik jeg gjorde, men da trenger vi noe som er litt skarpere enn AM-GM.
Markus
Fermat
Fermat
Posts: 767
Joined: 20/09-2016 13:48
Location: NTNU

stensrud wrote:Husk at 1/a34=a34a43.
Markus wrote:Fungerer dette? Kan jeg for eksempel ta de antakelsene jeg har tatt?
Vi antar at a=b=c, slik at vi kan bruke AM-GM. Siden abc=1, må da a=b=c=1
AM-GM gir
Her er idéene du bruker riktige, men føringen feil: Vi kan ikke fritt anta a=b=c, siden dette utgjør kun noen få av tilfellene. AM-GM-ulikheten sier at a+b2ab uansett hva a,b og c er, så lenge de er positive. Og da er det ikke noe behov for å anta at a=b=c, siden ulikhetene gjelder uansett. (Det er sant at vi har likhet i AM-GM hvis og bare hvis alle variablene er like store). Her er et eksempel på hvordan man kan føre et AM-GM bevis:

La oss vise ulikheten (x+y)(y+z)(z+x)8xyz for positive x,y,z: Det følger av AM-GM-ulikheten at x+y2xy, og tilsvarende er y+z2yz og z+x2zx. Derfor er
(x+y)(y+z)(z+x)(2xy)(2yz)(2zx)=8xyz,
som ønsket. Vi har likhet hvis og bare hvis x=y=z.

Tilbake til ulikheten i tråden så holder det ikke å bruke AM-GM direkte: Vi kan for eksempel gjøre a34 vilkårlig stor. Jeg har tro på at det går an å løse ulikheten elementært, og i tillegg unngå å dele opp i tilfeller slik jeg gjorde, men da trenger vi noe som er litt skarpere enn AM-GM.
Takk for tilbakemeldingen! Mente å lese et eller annet sted at AM-GM kun holder hvis a1=a2==an, men fint å få det rettet opp - takk! AM-GM ser dog til å gå fint opp med uttrykket, helt fram til slutten i alle fall. Det stopper jo først på slutten med a34-leddet. Det er mulig at man ikke kan gjøre noe med dette leddet, så da faller hele fremgangsmåten sammen. Men, alt fram dit skal vel være rett?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

@markus: det som er riktig er at likhet i am-gm holder kun hvis a1=a2=a3=..ulikheten i seg selv holder så lenge alle variabler er ikkenegative
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

@stensrud : Med 'elementær' mente jeg selvsagt 'uten bruk av avansert teori', ikke nødvendigvis at løsningen er enkel!

Veldig bra løsning btw!
Post Reply