Ulikhet

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er

[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]
mingjun
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Sted: Det projektive planet

Dette følger vel direkte fra Cauchy Schwartz (i engelform) i integralform.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Kay skrev:Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er

[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]
Som mingjun skrev, så følger det av Schwarz' ulikhet

$|\int_0^x f \cdot g| \leq\sqrt{\int_0^x |f|^2 \int_0^x |g|^2}$. Sett $g=1$ og la $f\to f'$, så for $x\in [0,1]$ er

$|f(x)|=|\int_0^x f'| \leq\sqrt{\int_0^x |f'|^2 \int_0^x 1}= \sqrt{x }\sqrt{\int_0^x |f'|^2 }\leq \sqrt{\int_0^x |f'|^2}\leq \sqrt{\int_0^1 |f'|^2}$,

der den siste ulikheten er gyldig fordi integranden er ikkenegativ.
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Gustav skrev:
Kay skrev:Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er

[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]
Som mingjun skrev, så følger det av Schwarz' ulikhet

$|\int_0^x f \cdot g| \leq\sqrt{\int_0^x |f|^2 \int_0^x |g|^2}$. Sett $g=1$ og la $f\to f'$, så for $x\in [0,1]$ er

$|f(x)|=|\int_0^x f'| \leq\sqrt{\int_0^x |f'|^2 \int_0^x 1}= \sqrt{x }\sqrt{\int_0^x |f'|^2 }\leq \sqrt{\int_0^x |f'|^2}\leq \sqrt{\int_0^1 |f'|^2}$,

der den siste ulikheten er gyldig fordi integranden er ikkenegativ.
Var Schwarz' som var tanken her, ja. Fint.
Svar