AIME Polynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Sett P( x ) = a * ( x - x[tex]_1[/tex] ) ( x - x[tex]_2[/tex] )
P( 0 ) = a * x[tex]_1[/tex] * x[tex]_2[/tex] = 2010 = 1 * 2 * 3 * 5 * 67
Nullpunkta x[tex]_1[/tex] og x[tex]_2[/tex] kan plukkast ut på "5 over 2 " = 10 ulike måtar.
Svar: Det fins 10 ulike polynom av grad 2 som oppfyller dei gitte krava.
P( 0 ) = a * x[tex]_1[/tex] * x[tex]_2[/tex] = 2010 = 1 * 2 * 3 * 5 * 67
Nullpunkta x[tex]_1[/tex] og x[tex]_2[/tex] kan plukkast ut på "5 over 2 " = 10 ulike måtar.
Svar: Det fins 10 ulike polynom av grad 2 som oppfyller dei gitte krava.
Første svaret mitt var lite gjennomtenkt.
Ny løysing: "5 over 2 " + "5 over 2" * "3 over 1 " + "5 over 2 " * " 3 over 2 " + "5 over 3" * " 2 over 1 " = 90
Skal tru om dette stemmer. Eg ventar i spenning på dommen.
Ny løysing: "5 over 2 " + "5 over 2" * "3 over 1 " + "5 over 2 " * " 3 over 2 " + "5 over 3" * " 2 over 1 " = 90
Skal tru om dette stemmer. Eg ventar i spenning på dommen.
Det jeg opprinnelig skrev var et svar til det første løsningsforslaget. Kunne du forklart litt hva du tenker med det nye løsningsforslaget ditt? Jeg legger ved original svar, da det ser ut som at den samme misforståelsen også er i det nye løsningsforslaget ditt - men det er mulig jeg misforstår (så skulle gjerne hatt en forklaring på hvordan du tenkte). Svaret du har fått er ikke korrekt.
Til ditt opprinnelige innlegg;
Denne slutningen er ikke korrekt, for det første må du ikke telle med $1$ som en faktor (for eksempel er jo $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67$). Det er heller ikke nullpunktene vi er interessert i men triplene $(a,b,c)$ i $ax^2+bx+c$, altså hvor mange slike polynomer finnes det som oppfyller kriteriene? Selv om to polynomer har like røtter betyr det ikke at de trenger å ha like koeffisienter. Legger hint i spoileren, hvis du skulle ønske en pekepinn.
Hint:
Til ditt opprinnelige innlegg;
Denne slutningen er ikke korrekt, for det første må du ikke telle med $1$ som en faktor (for eksempel er jo $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67$). Det er heller ikke nullpunktene vi er interessert i men triplene $(a,b,c)$ i $ax^2+bx+c$, altså hvor mange slike polynomer finnes det som oppfyller kriteriene? Selv om to polynomer har like røtter betyr det ikke at de trenger å ha like koeffisienter. Legger hint i spoileren, hvis du skulle ønske en pekepinn.
Hint:
Nå er du ikke langt unna det faktiske svaret (det er litt lavere)! Det er vanskelig for meg å si hvor du har overtelt. Legger ved et løsningsforslag i spoileren under.Mattegjest skrev:Har gjort ei ny berekning og kome til 172
Har oversett kombinasjonane (r[tex]_1[/tex], r[tex]_2[/tex] ) = (1,-1) , (-1,-1) eller (1,1)
Men då endar eg opp med 175 løysingar. Har resonnert på ein annan måte enn fasit du presenterer. Likevel meiner eg at
mi "teljing" skal føre fram til rett svar. Må prøve å finne ut kvar feilen ligg.
Ei interessant oppgave !
Men då endar eg opp med 175 løysingar. Har resonnert på ein annan måte enn fasit du presenterer. Likevel meiner eg at
mi "teljing" skal føre fram til rett svar. Må prøve å finne ut kvar feilen ligg.
Ei interessant oppgave !
Viser her min teljemåte :
( 1 ): Både r[tex]_1[/tex] og r[tex]_2[/tex] er primtal.
Her får vi " 5 over 2 " ( = 10 ) ulike par distinkte røter.
( 2 ) : r[tex]_1[/tex] er primtal, medan r[tex]_2[/tex] er eit produkt av to primtal.
Dette alternativet gir " 4 over 2 " * " 3 over 1 " ( = 18 ) par distinkte røter.
( 3 ): Både r[tex]_1[/tex] og [tex]_2[/tex] er eit produkt av to primtal.
Denne kombinasjonen gir " 4 over 2 "/2 ( = 3 ) par distinkte røter.
[b( 4 )[/b]: r[tex]_1[/tex] er primtal, medan r[tex]_2[/tex] er eit produkt av 3 primtal.
Her får vi "4 over 3 " * " 2 over 1 " ( = 8 ) par distinkte røter.
( 5 ) : r[tex]_1[/tex] er primtal, medan r[tex]_2[/tex] er eit produkt av 4 primtal.
Denne kombinasjonen gir openbart berre eitt par distinkte røter
Produktet a * r[tex]_1[/tex] *r[tex]_2[/tex] =2010 = positivt produkt.
Her er det 4 alternativ: (+++) , (-+- ) , (--+) eller (+--).
Tal løysingar der abs(r[tex]_1[/tex]) ulik abs(r[tex]_2[/tex]: 4 * (10 + 18 + 3 + 8 +1 ) = 4 * 40 = 160
I tillegg får vi desse løysingane: (r[tex]_1[/tex] , r[tex]_2[/tex] ) = (1 ,1) , (1 , -1 ) eller (-1 , -1 )
Talde dobbelt på punkt ( 3 ) i mitt førre svar.
( 1 ): Både r[tex]_1[/tex] og r[tex]_2[/tex] er primtal.
Her får vi " 5 over 2 " ( = 10 ) ulike par distinkte røter.
( 2 ) : r[tex]_1[/tex] er primtal, medan r[tex]_2[/tex] er eit produkt av to primtal.
Dette alternativet gir " 4 over 2 " * " 3 over 1 " ( = 18 ) par distinkte røter.
( 3 ): Både r[tex]_1[/tex] og [tex]_2[/tex] er eit produkt av to primtal.
Denne kombinasjonen gir " 4 over 2 "/2 ( = 3 ) par distinkte røter.
[b( 4 )[/b]: r[tex]_1[/tex] er primtal, medan r[tex]_2[/tex] er eit produkt av 3 primtal.
Her får vi "4 over 3 " * " 2 over 1 " ( = 8 ) par distinkte røter.
( 5 ) : r[tex]_1[/tex] er primtal, medan r[tex]_2[/tex] er eit produkt av 4 primtal.
Denne kombinasjonen gir openbart berre eitt par distinkte røter
Produktet a * r[tex]_1[/tex] *r[tex]_2[/tex] =2010 = positivt produkt.
Her er det 4 alternativ: (+++) , (-+- ) , (--+) eller (+--).
Tal løysingar der abs(r[tex]_1[/tex]) ulik abs(r[tex]_2[/tex]: 4 * (10 + 18 + 3 + 8 +1 ) = 4 * 40 = 160
I tillegg får vi desse løysingane: (r[tex]_1[/tex] , r[tex]_2[/tex] ) = (1 ,1) , (1 , -1 ) eller (-1 , -1 )
Talde dobbelt på punkt ( 3 ) i mitt førre svar.