To grenseverdier

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Finn grenseverdiene
$$[1] \, \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{x} \right )^{bx}$$ $$[2] \, \lim_{x \to \infty} \frac{x+x^2+x^3+\dots + x^x}{1^x+2^x+3^x+\dots + x^x}$$
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Markus skrev:Finn grenseverdiene
$$[1] \, \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{x} \right )^{bx}$$ $$[2] \, \lim_{x \to \infty} \frac{x+x^2+x^3+\dots + x^x}{1^x+2^x+3^x+\dots + x^x}$$
Må nesten tenke litt mer for å få til #2, men #1 er ganske grei, tror jeg iallefall.

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}[/tex]

La oss innføre substitusjonen [tex]\lambda =\frac{a}{x}[/tex]

Da får vi at

[tex]\left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=(1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}[/tex]

Fra logaritmereglene kan vi si at [tex](1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}=e^{b \lambda \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}[/tex]

Så er det bare å kjøre på med l'Hopitals og vise at grenseverdien for logaritmeuttrykket er [tex]1[/tex]

Derfor så oppnår vi til slutt at [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=e^{ba\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}=e^{ba}[/tex]
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Kay skrev:
Markus skrev:Finn grenseverdiene
$$[1] \, \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{x} \right )^{bx}$$ $$[2] \, \lim_{x \to \infty} \frac{x+x^2+x^3+\dots + x^x}{1^x+2^x+3^x+\dots + x^x}$$
Må nesten tenke litt mer for å få til #2, men #1 er ganske grei, tror jeg iallefall.

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}[/tex]

La oss innføre substitusjonen [tex]\lambda =\frac{a}{x}[/tex]

Da får vi at

[tex]\left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=(1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}[/tex]

Fra logaritmereglene kan vi si at [tex](1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}=e^{b \lambda \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}[/tex]

Så er det bare å kjøre på med l'Hopitals og vise at grenseverdien for logaritmeuttrykket er [tex]1[/tex]

Derfor så oppnår vi til slutt at [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=e^{ba\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}=e^{ba}[/tex]
Jepp, det er helt korrekt. Gjorde omtrent akkurat det samme som deg, minus substitusjonen. Er nok litt mer arbeid med nummer 2, men underveis kan du få bruk for resultatet av grenseverdien du nettopp viste, litt avhengig av fremgangsmåten din.
Mattebruker

Adg. grenseverdi 2:

Multipliser teljar og nemnar med x[tex]^{-x}[/tex]. Då ser vi at teljar går mot 1 når x går mot uendeleg.


Nemnar dannar ei konvergent geometrisk rekkje der første leddet a[tex]_1[/tex] = 1 og kvotienten k = e[tex]^{-1}[/tex].


Summen S av ledda i nemnar = a[tex]_1[/tex]/(1 - k ) = 1/(1 - e[tex]^{-1}[/tex] ) = e/(e - 1) .


Grenseverdien (x går mot uendeleg ) teljar/nemnar = 1/e/(e - 1 ) = ( e - 1 )/e
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Mattegjest skrev:Adg. grenseverdi 2:

Multipliser teljar og nemnar med x[tex]^{-x}[/tex]. Då ser vi at teljar går mot 1 når x går mot uendeleg.


Nemnar dannar ei konvergent geometrisk rekkje der første leddet a[tex]_1[/tex] = 1 og kvotienten k = e[tex]^{-1}[/tex].


Summen S av ledda i nemnar = a[tex]_1[/tex]/(1 - k ) = 1/(1 - e[tex]^{-1}[/tex] ) = e/(e - 1) .


Grenseverdien (x går mot uendeleg ) teljar/nemnar = 1/e/(e - 1 ) = ( e - 1 )/e
Flotters mattegjest!

Hvordan regna du ut grenseverdien til nevneren? Ved hjelp av grensverdi nummer 1, eller hadde du en annen måte?
Mattebruker

Det allmenne leddet i nemnar ( etter multiplikasjon med x[tex]^{-x}[/tex] ) kan skrivast på forma


a[tex]_m[/tex] = ( n går mot uendeleg (1 + 1/n )[tex]^n[/tex] )[tex]^{-m}[/tex] = e[tex]^{-m}[/tex] , m >= 0
Svar