Hvilke av følgene nedenfor er begrenset oven-/underifra (angi en begrensning) og/eller
voksende/avtakende (gi et argument)?
Følgen (xn)n gitt ved
X1 =√2,
Xn+1 =√(2 + xn) , n ≥ 1.
Hint: Følgen er konvergent med lim n→∞ Xn = 2.
stemmer det at følgen er begrenset nedenifra med begrensning sqrt(2) og at den er voksende?
følger
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Hintet forteller oss at følgen må være begrenset både oven- og nedenfra, så vi bør jakte på å bevise dette. To raske induksjonsbevis vil vise deg at $0 \leq x_n \leq 2$ for alle $n\in\mathbb{N}$. Vi ønsker å undersøke om følgen er voksende eller avtakende. Ettersom $x_n^2 - x_{n+1}^2 = x_n^2 - x_n - 2 = (x_n+1)(x_n - 2) \leq 0$ for alle $n$, ser vi at følgen er voksende ($x_{n+1}^2 \geq x_n^2 \implies x_{n+1} \geq x_n$ ettersom alle ledd er $\geq 0$).whaaat? skrev:Hvilke av følgene nedenfor er begrenset oven-/underifra (angi en begrensning) og/eller
voksende/avtakende (gi et argument)?
Følgen (xn)n gitt ved
X1 =√2,
Xn+1 =√(2 + xn) , n ≥ 1.
Hint: Følgen er konvergent med lim n→∞ Xn = 2.
stemmer det at følgen er begrenset nedenifra med begrensning sqrt(2) og at den er voksende?
Merk deg nå til slutt at vi kan bevise hintet. Vi vet at en voksende følge som er begrenset ovenfra må konvergere, la oss si $x_n \rightarrow x$ når $n \rightarrow \infty$. Men da må også $x_{n+1} \rightarrow x$ når $n \rightarrow \infty$, så om vi lar $n\rightarrow\infty$ i den rekursive definisjonen av $x_{n+1}$ får vi at $x = \sqrt{2 + x}$. Løser vi denne likningen får vi at $x=2$.