3MX vektorer

[Gjest]

Heisann.
Har desverre kommet til en oppgave i vektorer 3mx, der jeg står helt fast Oppgaven er som følger:
Vi har likningen for sirkelen
x[sup]2[/sup]+(y-3)[sup]2[/sup]=25
linja l er gitt ved:
x=t ^ y=k+2t
Bestem k slik at linja tangerer sirkelen
Håper noen kan hjelpe meg. Hadde satt stor pris på om noen ville vise meg steg for steg hvordan denne løses.
Vennlig hilsen
Gjest

[Guest]

TIPS:
Vi kaller det punktet på linjen l som tangerer sirkelen for P. Sirkelens sentrum er S.

Vi vet da at SP-vektor og linjen l sin retningsvektor/fartsvektor må stå normalt på hverandre...

[Gjest]

Ehem... Må nok innrømme at jeg ikke er noe mattegeni nei Har nå prøvd dette, men står fortsatt like fast Håper noen kan hjelpe meg.

[Guest]

x=t ^ y=k+2t

Denne er litt uklar. Eller er det noe jeg ikke har greie på?

[Solar Plexsus]

Erstatter du x med t og y med k + 2t i likningen for sirkelen, får du at

(1) t[sup]2[/sup] + (2t + k - 3)[sup]2[/sup] = 25

t[sup]2[/sup] + 4t[sup]2[/sup] + 4(k - 3)t + (k - 3)[sup]2[/sup] = 25

5t[sup]2[/sup] + 4(k - 3)t + (k - 3)[sup]2[/sup] - 25 = 0

(2) t = [ -4(k - 3) [symbol:plussminus] [symbol:rot]d ] / (2*5)

der

d = [4(k - 3)][sup]2[/sup] - 4*5*[(k - 3)[sup]2[/sup] - 25] = 16(k - 3)[sup]2[/sup] - 20(k - 3)[sup]2[/sup] + 500 = 4[ 125 - (k - 3)[sup]2[/sup] ].

I.o.m. at linjen gitt ved parameterfremstillingen x=t, y=2t + k skal tangere sirkelen, har andregradslikningen (1) kun en løsning. Av (2) følger at dette bare kan inntreffe når d=0, som ifølge (3) betyr at

(k - 3)[sup]2[/sup] = 125

k - 3 = [symbol:plussminus][symbol:rot]125

k = 3 [symbol:plussminus] 5 [symbol:rot]5.

[Gjest]

Yesss... Forstår det nå ja. Tusen takk for hjelpen