Hei,
Har et spørsmål angående sammenligningstesten. La oss si at vi har rekken [tex]A = \sum_{n = 1}^{infinity} \frac{1}{2n+1}[/tex].
Ønsker å sammenligne med den harmoniske rekken [tex]B = \sum_{n = 0}^{infinity} \frac{1}{n}[/tex] som er større, og som vi vet divergerer. Spørsmålet mitt er: ettersom B divergerer, kan vi da si at A divergerer? Eller må vi bruke en annen test?
Konvergens/divergens av rekker
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Posts: 826
- Joined: 09/02-2015 23:28
- Location: Oslo
Bruk forholdstesten på grenseform:Kwerty wrote:Hei,
Har et spørsmål angående sammenligningstesten. La oss si at vi har rekken [tex]A = \sum_{n = 1}^{infinity} \frac{1}{2n+1}[/tex].
Ønsker å sammenligne med den harmoniske rekken [tex]B = \sum_{n = 0}^{infinity} \frac{1}{n}[/tex] som er større, og som vi vet divergerer. Spørsmålet mitt er: ettersom B divergerer, kan vi da si at A divergerer? Eller må vi bruke en annen test?
Teorem. La $(a_n)$ og $(b_n)$ være to positive følger og anta at
$$
\frac{a_n}{b_n}\rightarrow L,\mbox{ hvor }0 < L <\infty.
$$
Da konvergerer $\sum a_n$ hvis og bare hvis $\sum b_n$ konvergerer.
Bevis. Ettersom $\frac{a_n}{b_n}\rightarrow L$ vet vi at det finnes en $N$ slik at for alle $k\geq N$ har vi at $|\frac{a_k}{b_k} - L| < \frac12L$. Det vil si, $\frac12L<\frac{a_k}{b_k}<\frac32L.$ Dermed er $a_k < \frac32Lb_k$ og $b_k < 2\frac1La_k$, så vi kan bruke den vanlige forholdstesten til å bevise teoremet.
Rekken divergerer. Hvis du skal bruke sammenligningstesten til dette må du finne en rekke som «begrenser» $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1}$ nedenifra, og som divergerer. Da følger det at rekken du nevner divergerer. Her har du funnet en øvre begrensing som divergerer, men det impliserer nødvendigvis ikke at rekken du nevner også divergerer. Men du er ikke langt unna i det hele tatt!
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}$ begrenser $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}$ nedenifra (overbevis deg selv ved å skrive ut noen ledd), og $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n} = \frac15 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$. Her har vi den harmoniske rekken, som du nevner selv divergerer! Da divergerer $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}$, og siden den begrenset din rekke nedenifra vil også $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}$ divergere (av sammenligningstesten).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}$ begrenser $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}$ nedenifra (overbevis deg selv ved å skrive ut noen ledd), og $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n} = \frac15 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$. Her har vi den harmoniske rekken, som du nevner selv divergerer! Da divergerer $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}$, og siden den begrenset din rekke nedenifra vil også $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}$ divergere (av sammenligningstesten).