rart integral

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Er litt rusten i integraler for tia, noen som har forslag på denne:

[tex]\large I=\int_{0}^{\pi/2}(\cos^2(\cos(x))+\sin^2(\sin(x)))\,dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Hint: Siden $\int_a^b f(a+b-x) \, \text{d}x = \int_a^b f(x) \, \text{d}x$ har vi at $$I=\int_0^{\pi/2} (\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\sin(x))) \, \text{d}x = \int_0^{\pi/2} (\cos^2(\sin(x)) + \sin^2(\cos(x))) \, \text{d}x$$ Hvilken kjent trigonometrisk identitet kan du bruke for å addere disse to integralene til en superlett integrand?

For å ikke ødelegge moroa, legger jeg løsningsforslag i spoiler.
[+] Skjult tekst
Kombinerer vi disse to integralene over får vi, ved å bruke at $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ at
$$\begin{alignat*}{2}
2I &= \int_0^{\pi/2} (\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\sin(x)) + \cos^2(\sin(x)) + \sin^2(\cos(x))) \, \text{d}x \\
&= \int_0^{\pi/2} \left( \left[\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\cos(x)) \right] + \left[\sin^2(\sin(x)) + \cos^2(\sin(x)) \right] \right) \, \text{d}x \\
&= \int_0^{\pi/2} 2 \, \text{d}x \\ &= \pi
\end{alignat*}$$

Så $I=\frac{\pi}{2}$
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Markus skrev:Hint: Siden $\int_a^b f(a+b-x) \, \text{d}x = \int_a^b f(x) \, \text{d}x$ har vi at $$I=\int_0^{\pi/2} (\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\sin(x))) \, \text{d}x = \int_0^{\pi/2} (\cos^2(\sin(x)) + \sin^2(\cos(x))) \, \text{d}x$$ Hvilken kjent trigonometrisk identitet kan du bruke for å addere disse to integralene til en superlett integrand?
For å ikke ødelegge moroa, legger jeg løsningsforslag i spoiler.
[+] Skjult tekst
Kombinerer vi disse to integralene over får vi, ved å bruke at $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ at
$$\begin{alignat*}{2}
2I &= \int_0^{\pi/2} (\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\sin(x)) + \cos^2(\sin(x)) + \sin^2(\cos(x))) \, \text{d}x \\
&= \int_0^{\pi/2} \left( \left[\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\cos(x)) \right] + \left[\sin^2(\sin(x)) + \cos^2(\sin(x)) \right] \right) \, \text{d}x \\
&= \int_0^{\pi/2} 2 \, \text{d}x \\ &= \pi
\end{alignat*}$$
Så $I=\frac{\pi}{2}$
takk
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Svar