Gammel Putnamnøtt

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Finn alle kontinuerlig deriverbare funksjoner $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at for alle $x$ er $$(f(x))^2 = \int_0^x \left[(f(t))^2+(f'(t))^2 \right] \, \text{d}t + 2018$$
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Hvor gammel kan den være? Arbitrære konstanter som likner nåværende eller nylige årstall pleier å være der fordi oppgaven ble lagd det året.

Men jeg vil likevel tro at oppgaven kan være gamlere, men de fant ut at konstant-verdien greit kan byttes ut med et årstall.
Bilde
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Aleks855 skrev:Hvor gammel kan den være? Arbitrære konstanter som likner nåværende eller nylige årstall pleier å være der fordi oppgaven ble lagd det året.

Men jeg vil likevel tro at oppgaven kan være gamlere, men de fant ut at konstant-verdien greit kan byttes ut med et årstall.
Hehe, fin observasjon ;) I den originale oppgaveformuleringen sto det et annet tall, men for å gjøre oppgaven en smule mer "aktuell" byttet jeg det ut. Det har ingenting å si for løsningen hvilket tall som står der så lenge det er $\geq 0$.
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett
[+] Skjult tekst
Hvis vi deriverer begge sider får vi [tex]2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)+\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2\Leftrightarrow f'(x)=f(x)[/tex] og herifra finner vi at [tex]|f(x)|=e^xe^C[/tex]. Siden [tex]f(0)=\pm \sqrt{2018}[/tex] er det ok å se at [tex]f(x)=\pm\sqrt{2018}\ e^x[/tex] or so I would like to think? :lol:
Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil :lol:
Sist redigert av Kay den 18/12-2018 22:23, redigert 1 gang totalt.
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Kay skrev:Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett
[+] Skjult tekst
Hvis vi deriverer begge sider får vi [tex]2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2\Leftrightarrow f'(x)=f(x)[/tex] og herifra finner vi at [tex]|f(x)|=e^xe^C[/tex]. Siden [tex]f(0)=\pm \sqrt{2018}[/tex] er det ok å se at [tex]f(x)=\pm\sqrt{2018}\ e^x[/tex] or so I would like to think? :lol:
Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil :lol:
Rett dette, men regner med du mener
[+] Skjult tekst
$2f(x)f'(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2$ istedenfor multiplikasjonen på høyresiden?
Løste den likt selv :)

Edit: enig i det ene jeg var uenig med deg i :P .
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Markus skrev:
Kay skrev:Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett
[+] Skjult tekst
Hvis vi deriverer begge sider får vi [tex]2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2\Leftrightarrow f'(x)=f(x)[/tex] og herifra finner vi at [tex]|f(x)|=e^xe^C[/tex]. Siden [tex]f(0)=\pm \sqrt{2018}[/tex] er det ok å se at [tex]f(x)=\pm\sqrt{2018}\ e^x[/tex] or so I would like to think? :lol:
Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil :lol:
Rett dette, men regner med du mener
[+] Skjult tekst
$2f(x)f'(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2$ istedenfor multiplikasjonen på høyresiden?
Løste den likt selv :)

Edit: enig i det ene jeg var uenig med deg i :P .
Derp ja, retter opp det sporenstreks :)
Svar