Jeg lurer litt på angående følgende oppgave: Finn alle funksjoner $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som tilfredstiller $x^2f(yf(x))=y^2f(x)f(f(x))$ for alle reelle tall $x,y$.
Ved å sette $y=1$ får vi $x^2f(f(x))=f(x)f(f(x))$, så hvis vi antar $f(f(x))\neq 0$ får vi umiddelbart $f(x)=x^2$. Det er også lett å se at $f(x)=0$ tilfredstiller likningen. Altså er $f(x)=0$ eller $f(x)=x^2$ de funksjonene som tilfredstiller funksjonallikningen. Dette stemmer overrens med LF, men allikevel blinker det mange varsellamper i hodet mitt.
I LF bruker de et mye lengre argument for at de samme funksjonene er løsningene. Jeg lette også litt tilbake i nøtteforumet og fant et omtrent like langt argument på de samme løsningene på denne oppgaven. I tillegg er dette en Abelfinaleoppgave, og jeg tviler på at den er så enkel. Jeg føler derfor jeg har oversett noe som ikke gjør dette beviset vanntett i det hele tatt, men jeg klarer ikke å se det selv. Derfor skulle jeg gjerne hatt noen andre øyne på dette, og påpekt feilen.
Takk på forhånd!
Abelfinalen 2014/15 1b)
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
La $A=\{x\in \mathbb{R} | f(x)=0 \}=ker(f)$. La $B=\{x\in\mathbb{R} | f(x)\in A \}$. Det eneste du har vist er at $f(x)=x^2$ for alle $x\not \in B$ er en løsning (når du antar $f(f(x))\neq 0$). Så det som mangler i beviset ditt er å vise hva $f(x)$ er når $x\in B$. Det er her tilleggsargumentene er nødvendige for å få til en adekvat løsning.Markus skrev:Jeg lurer litt på angående følgende oppgave: Finn alle funksjoner $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som tilfredstiller $x^2f(yf(x))=y^2f(x)f(f(x))$ for alle reelle tall $x,y$.
Ved å sette $y=1$ får vi $x^2f(f(x))=f(x)f(f(x))$, så hvis vi antar $f(f(x))\neq 0$ får vi umiddelbart $f(x)=x^2$. Det er også lett å se at $f(x)=0$ tilfredstiller likningen. Altså er $f(x)=0$ eller $f(x)=x^2$ de funksjonene som tilfredstiller funksjonallikningen. Dette stemmer overrens med LF, men allikevel blinker det mange varsellamper i hodet mitt.
Hjertelig takk - det gir mening! Hva betyr notasjonen $\ker(f)$? Er det nullrommet til $f$?Gustav skrev: La $A=\{x\in \mathbb{R} | f(x)=0 \}=ker(f)$. La $B=\{x\in\mathbb{R} | f(x)\in A \}$. Det eneste du har vist er at $f(x)=x^2$ for alle $x\not \in B$ er en løsning (når du antar $f(f(x))\neq 0$). Så det som mangler i beviset ditt er å vise hva $f(x)$ er når $x\in B$. Det er her tilleggsargumentene er nødvendige for å få til en adekvat løsning.
ker(f) er kjernen (engelsk: kernel) til f, som er det samme som nullrommet i lineær algebra. Kernel er et mer generelt konsept enn begrepet nullrom. https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(algebra)