Nebuchadnezzar skrev:Oppfølger: Finn
$ \hspace{1cm}
\int_0^{a(n)} | \cos \log x | \,\mathrm{d}x
$
når $a(n)$ er det n'te nullpunktet til funksjonen større enn $1$. For å være helt presis: $a(n)>1$, $\cos( \log a(n) ) = 0$ for alle $n \in \mathbb{N}$ og det eksisterer ingen $x$ slik at $\cos( \log x) = 0$ når $a(n) < x < a(n+1)$.
La $f(x) = \cos\log{x}$. $f(x) = 0$ fører da til $\log{x} = \pi/2+m\pi$ og $x = \exp{(\pi/2+m\pi})$, der $m\in\mathbb{Z}$.
$a(n) = \exp{(\pi/2+\pi(n-1)}) = \exp{(\pi(n-1/2)})$ oppfyller da beskrivelsen over.
Ettersom $f(x) > 0$ for $x\in (a(k), a(k+1))$ når $k$ er et partall og $f(x) < 0$ når $k$ er et oddetall, kan vi skrive
$\hspace{1cm}I = \int_0^{a(n)}|f(x)|\,\mathrm{d}x = \sum_{k=-\infty}^{n-1} (-1)^k\int_{a(k)}^{a(k+1)} f(x)\,\mathrm{d}x$
Integranden til $f(x)$ finnes ved å gjøre substitusjonen $u = \log{x}$, $\mathrm{d}x = e^u\mathrm{d}u$:
$\hspace{1cm}\int f(x)\,\mathrm{d}x = \int e^u\cos{u}\,\mathrm{d}u = \dfrac12 e^u (\cos{u}+\sin{u}) = \dfrac12 x(\cos{\log{x}}+\sin{\log{x}})$
Dermed har vi
$\hspace{1cm}
\begin{aligned}
\int_{a(k)}^{a(k+1)} f(x)\,\mathrm{d}x &= \dfrac12\exp{(\pi(k+1/2))}\sin{(\pi(k+1/2))}-\dfrac12\exp{(\pi(k-1/2))}\sin{(\pi(k-1/2))}\\
&= (-1)^k\dfrac12 (e^{1/2}+e^{-1/2})e^{k\pi} = (-1)^k \cosh{(\pi/2)}e^{k\pi}
\end{aligned}
$
og
$\hspace{1cm}
\begin{aligned}
I &= \cosh{(\pi/2)}\sum_{k=-\infty}^{n-1} e^{k\pi}\\
&= \cosh{(\pi/2)}\sum_{k=-(n-1)}^\infty (e^{-\pi})^k\\
&= \cosh{(\pi/2)}e^{(n-1)\pi}\sum_{k=0}^\infty (e^{-\pi})^k\\
&= \cosh{(\pi/2)}\dfrac{e^{(n-1)\pi}}{1-e^{-\pi}}
\end{aligned}
$
Oppfølger:
$
\hspace{1cm}\int_1^\infty\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2\lfloor x\rfloor}
$