Enda et trig-bevis, nå med vinkelsummer

[Aleks855]

Har storkosa meg med disse i det siste. Prøver her å vise at $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$ vha. enhetssirkelen. Og jeg føler jeg er veldig nær enden.

Jeg tok utgangspunkt i et fint bevis som sto på Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of ... identities

Men for å gjøre det litt mer interessant, så innfører jeg at $\alpha +\beta >\frac{\pi }{2}$. Hele beviset lar seg fremdeles gjennomføre frem til siste linje. Her er en illustrasjon av det jeg har kommet frem til så langt:



Fra det jeg har skrevet i hvitt på høyre side, så gjenstår det bare å vise at $AQ+PR=\sin (\alpha +\beta )$, så er beviset fullført, men det er der jeg går på en ørliten smell.

[Aleks855]

Å herregud, $BR=AQ$ som allerede er demonstrert å være lik $\sin \alpha \cos \beta$. Innsett et minutt etter jeg skrev innlegget.

Vurderer å slette tråden, men lar det stå som en påminnelse om at rubberducking er et fullverdig verktøy, også i matematikken.

[Markus]

Et annet veldig fint bevis, som fungerer veldig godt som en huskeregel for denne formelen:

Ved Eulers formel: $e^{i\alpha }=\cos (\alpha )+i\sin (\alpha )$ og $e^{i\beta }=\cos (\beta )+i\sin (\beta )$. Dermed er $$\begin{array}{rl}{e}^{i(\alpha +\beta )}& =(\cos (\alpha )+i\sin (\alpha ))(\cos (\beta )+i\sin (\beta ))=\cos (\alpha )\cos (\beta )+i\cos (\alpha )\sin (\beta )+i\sin (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )\\ & =[\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )]-i[\cos (\alpha )\sin (\beta )+\sin (\alpha )\cos (\beta )]\end{array}$$ Nå, siden $\text{Re}\left(e^{i(\alpha +\beta )}\right)=\cos (\alpha +\beta )$ og $\text{Im}\left(e^{i(\alpha +\beta )}\right)=\sin (\alpha +\beta )$ får vi ved å sammenligne reelle og imaginære komponenter summeformlene for cosinus og sinus.

[Aleks855]

Jepp, jeg liker det beviset. Jeg liker også beviset som innebærer å potensrekkeutvikle trig-funksjonene. Men dette er tiltenkt R2-kurset, så jeg kan ikke basere meg på antakelsen om at komplekse tall og/eller rekkeutvikling er kjent.

Men det minner meg på at jeg har en spilleliste om komplekse tall, OG en spilleliste om rekkeutvikling, der jeg i begge tilfeller ikke er sikker på hva neste video burde være. Disse bevisene kan være kortsiktige mål som gir en pekepinn for hvor det gir mening å fortsette.