Gammel Abel og AIME tallteori

[Markus]

(1) Finn alle par av heltall $(m,n)$ tilfredstiller likningen $$m^3+6m^2+5m=27n^3+9n^2+9n+1$$

(2) En av Eulers formodninger ble på 60-tallet motbevist av tre amerikanske matematikere da de viste at det fantes et positivt tall slik at ${133}^5+{110}^5+{84}^5+{27}^5=n^5$. Finn $n$.

[DennisChristensen]

(1) Venstre side kan faktoriseres som $m(m+5)(m+1)$, hvilket alltid er delelig med $3$. Dermed får vi $0=1$ mod $3$ når vi reduserer likningen mod 3, så det finnes ingen løsninger.

[Markus]

(1) Venstre side kan faktoriseres som $m(m+5)(m+1)$, hvilket alltid er delelig med $3$. Dermed får vi $0=1$ mod $3$ når vi reduserer likningen mod 3, så det finnes ingen løsninger.

Selvfølgelig helt rett! Løste den likt.

[mrcreosote]

(2) En av Eulers formodninger ble på 60-tallet motbevist av tre amerikanske matematikere da de viste at det fantes et positivt tall slik at ${133}^5+{110}^5+{84}^5+{27}^5=n^5$. Finn $n$.

Siden $n^5\equiv n\mathrm{mod}m$ både for m=3 og m=10 (og dermed m=30) får vi at $n\equiv 0\mathrm{mod}3$ og $n\equiv 4\mathrm{mod}10$. Det gir $n\equiv 24\mathrm{mod}30$, så $n\in \{144,174,204,\dots \}$. ($n$ er åpenbart større enn $133$.)

Videre er ${133}^5+{110}^5+{84}^5+{27}^5<{136}^5+{136}^5+{102}^5+{34}^5={34}^5(4^5+4^5+3^5+1^5)={34}^5(1024+1024+243+1)={34}^5\cdot 2292<{34}^5\cdot 3125={34}^5\cdot 5^5={170}^5<{174}^5$.

Samla betyr dette at $n=144$.

[Markus]

(2) En av Eulers formodninger ble på 60-tallet motbevist av tre amerikanske matematikere da de viste at det fantes et positivt tall slik at ${133}^5+{110}^5+{84}^5+{27}^5=n^5$. Finn $n$.

Siden $n^5\equiv n\mathrm{mod}m$ både for m=3 og m=10 (og dermed m=30) får vi at $n\equiv 0\mathrm{mod}3$ og $n\equiv 4\mathrm{mod}10$. Det gir $n\equiv 24\mathrm{mod}30$, så $n\in \{144,174,204,\dots \}$. ($n$ er åpenbart større enn $133$.)

Videre er ${133}^5+{110}^5+{84}^5+{27}^5<{136}^5+{136}^5+{102}^5+{34}^5={34}^5(4^5+4^5+3^5+1^5)={34}^5(1024+1024+243+1)={34}^5\cdot 2292<{34}^5\cdot 3125={34}^5\cdot 5^5={170}^5<{174}^5$.

Samla betyr dette at $n=144$.

Selvfølgelig korrekt! Fra en AIME på 80-tallet en gang.