Basic analyse

[Stringselings]

1.png (42.3 KiB) Viewed 2283 times

Denne oppgaven føles veldig opplagt ut, noe som ofte fører til at jeg begrunner for dårlig.
Så jeg lurer på hvordan dere ville ha begrunnet/ført oppgave a og b.

Mine tanker:
Siden $u(x)$ er kontinuerlig kan bare $u(x)$ divergere når $x\to \pm \mathrm{\infty }$.
Men siden $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}u(x)=b$, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}u(x)=a$ er ikke dette tilfellet, og $u(x)$ må være bundet $\mid u(x)\mid \le M=\underset{x\in \mathbf{R}}{sup}\mid u(x)\mid$

[DennisChristensen]

1.png

Denne oppgaven føles veldig opplagt ut, noe som ofte fører til at jeg begrunner for dårlig.
Så jeg lurer på hvordan dere ville ha begrunnet/ført oppgave a og b.

Mine tanker:
Siden $u(x)$ er kontinuerlig kan bare $u(x)$ divergere når $x\to \pm \mathrm{\infty }$.
Men siden $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}u(x)=b$, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}u(x)=a$ er ikke dette tilfellet, og $u(x)$ må være bundet $\mid u(x)\mid \le M=\underset{x\in \mathbf{R}}{sup}\mid u(x)\mid$

Du er inne på riktige tanker, men vi er nødt til å bruke definisjonene ordentlig for å formulere et skikkelig bevis.
(a) Vi vet at $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}u(x)=a\in \mathbb{R}$, så $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }K\ge 0$ slik at $x>K⟹|u(x)-a|<\epsilon$. Især vet vi da at det finnes $C\ge 0$ slik at $x\ge C⟹|u(x)-a|<1⟹|u(x)|<|a|+1$. Dermed kan vi la $B=|a|+1$ for å bevise (a).

Klarer du (b) nå?

[Stringselings]

yeh, takk