Finn konvergensområde

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Banan
Cantor
Cantor
Innlegg: 112
Registrert: 28/05-2017 15:25

Hei, sliter litt med ulikhetene, kan jeg få litt hjelp:

a) Finn konvergensområdet for den uendelige rekken x + x^(3) + x^(5) + ...


Her finner jeg at k= x^(2). Videre vet jeg at x^(2) skal ligge mellom -1 og 1 for at rekken skal konvergere, men sliter med ulikhetene


b) Finn konvergensområdet for den uendelige rekken 1 + 1/x + 1/x^(2) + 1/x^(3)

Her finner jeg at k = 1/x , men sliter igjen med ulikhetene.

Noen som kan forklare hvordan jeg skal gå fram og gi noen tips til hvordan jeg kan løse slike i framtiden?
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

At $-1 < x^2 < 1$ er det samme som at $|x^2| < 1$ som igjen er det samme som $|x|^2 < 1$ som skjer når $|x| < 1$ (ta kvadratroten på begge sider).

På nummer to kan du gjøre det samme $|1/x| < 1$ også trikse med ulikhetene.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Banan
Cantor
Cantor
Innlegg: 112
Registrert: 28/05-2017 15:25

Nebuchadnezzar skrev:At $-1 < x^2 < 1$ er det samme som at $|x^2| < 1$ som igjen er det samme som $|x|^2 < 1$ som skjer når $|x| < 1$ (ta kvadratroten på begge sider).

På nummer to kan du gjøre det samme $|1/x| < 1$ også trikse med ulikhetene.
Hei

Takk for at du svarer, men er veldig forvirret. Jeg skjønner ikke helt det med at x^2 skal være større enn -1 og mindre enn 1 skal være det samme som x^2 <1.

Det jeg tenkte var:

x^2 >-1 har vel ingen løsning ettersom x^(2) er alltid positivt, sant?

x^2<1 gir at x<-1 men også x<1, sant? Men igjen gir det også ingen mening.


På den andre løser jeg 1/x>-1 og 1/x< 1 og får at x>-1 og at x>1, men skjønner heller ikke om det går an.

Hvordan kommer du fram til at ulikhetene er det samme som det du sier? Jeg ser det ikke :|

Takk
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Banan skrev:Jeg skjønner ikke helt det med at x^2 skal være større enn -1 og mindre enn 1 skal være det samme som x^2 <1.

Det jeg tenkte var:

x^2 >-1 har vel ingen løsning ettersom x^(2) er alltid positivt, sant?

x^2<1 gir at x<-1 men også x<1, sant? Men igjen gir det også ingen mening.

På den andre løser jeg 1/x>-1 og 1/x< 1 og får at x>-1 og at x>1, men skjønner heller ikke om det går an.

Hvordan kommer du fram til at ulikhetene er det samme som det du sier? Jeg ser det ikke :|
For at en geometrisk rekke $\sum_{n=0}^\infty ar^n$ skal konvergere må $|r|<1$. I din oppgave har vi i a) at $r=x^2$, så vi må ha $|x^2|<1$. Videre er $|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$ for hvilke som helst tall $a,b \in \mathbb{R}$. Dermed har vi at $|x^2|=|x\cdot x|=|x|\cdot|x|=|x|^2<1$. Hvis vi tar kvadratroten på begge sider får vi $|x|<1$. Når er absoluttverdien av $x$ mindre enn 1?
Banan
Cantor
Cantor
Innlegg: 112
Registrert: 28/05-2017 15:25

Markus skrev:
Banan skrev:Jeg skjønner ikke helt det med at x^2 skal være større enn -1 og mindre enn 1 skal være det samme som x^2 <1.

Det jeg tenkte var:

x^2 >-1 har vel ingen løsning ettersom x^(2) er alltid positivt, sant?

x^2<1 gir at x<-1 men også x<1, sant? Men igjen gir det også ingen mening.

På den andre løser jeg 1/x>-1 og 1/x< 1 og får at x>-1 og at x>1, men skjønner heller ikke om det går an.

Hvordan kommer du fram til at ulikhetene er det samme som det du sier? Jeg ser det ikke :|
For at en geometrisk rekke $\sum_{n=0}^\infty ar^n$ skal konvergere må $|r|<1$. I din oppgave har vi i a) at $r=x^2$, så vi må ha $|x^2|<1$. Videre er $|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$ for hvilke som helst tall $a,b \in \mathbb{R}$. Dermed har vi at $|x^2|=|x\cdot x|=|x|\cdot|x|=|x|^2<1$. Hvis vi tar kvadratroten på begge sider får vi $|x|<1$. Når er absoluttverdien av $x$ mindre enn 1?
Aldri? Betyr dette at man ikke bruker vanlig ulikhetregning? Og bruker man samme logikk for -1 < 1/x <1? Tusen takk
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Hvis du tegner funksjonene [tex]f(x)=|x|[/tex] og [tex]g(x)=1[/tex] vil du fort se svaret. Ser du hva det er?

Bilde
Banan
Cantor
Cantor
Innlegg: 112
Registrert: 28/05-2017 15:25

Kay skrev:Hvis du tegner funksjonene [tex]f(x)=|x|[/tex] og [tex]g(x)=1[/tex] vil du fort se svaret. Ser du hva det er?

Bilde
Ja, tror det. Har eksamen i R2 om noen dager, og sykt stresset.

Tusen takk
Banan
Cantor
Cantor
Innlegg: 112
Registrert: 28/05-2017 15:25

Kay skrev:Hvis du tegner funksjonene [tex]f(x)=|x|[/tex] og [tex]g(x)=1[/tex] vil du fort se svaret. Ser du hva det er?

Bilde
Ja, tror det. Har eksamen i R2 om noen dager, og sykt stresset.

Tusen takk
Svar