Tredjegradslikning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

TordisTordis

Hei!
Dette er en oppgave jeg jobber med:

Gitt x^3+3x-1 = 0
1. Vis at likningen ikke har rasjonale løsninger.
2. Vis at likningen har nøyaktig en reell rot.
3. Vis at den reelle roten til likningen ligger mellom 0 og 1.
4. Bruk Cardanos metode for å finne den relle roten til likningen.

Mitt forslag:

1. Her ser jeg for meg at jeg skal sette inn p/q for x og finner ut noe lurt... Usikker på hva :lol:
2. Er usikker på hvordan jeg går fram her, men kan det være en ide å derivere funksjonen og så se om funksjonen alltid er stigende? Da er vel dette et tegn på bare en reell rot?
3. Dette kan jeg kanskje svare på ved å se om fortegnet skifter om jeg setter inn 1 og 2 for x i funksjonen?
4. Denne er vel rett fram, så jeg fikk 0,3222

Er jeg helt på bærtur? Bedre måter?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

1: Ja, du er på riktig spor. Se på hvordan likninga ser ut med den substitusjonen. Prøv først å forenkle likninga slik at du ikke har brøker. Da får vi et uttrykk som vi kan gjøre litt konklusjoner fra.

2: Jepp, det funker.

3: 0 og 1, men ja. Riktig tenkt.

4: $x \approx 0.322$, og det er viktig at vi bruker $\approx$ her. $x = 0.322$ ville vært feil svar, fordi det er en tilnærming og ikke eksakt.
Bilde
TordisTordis

Oi. Takk for raskt svar!

Ja, altså... Jeg kunne kanskje tenkt at da får jeg p^3 + 3pq^2 - q^3 =0.
Da skal jeg sikkert komme fram til at dette ikke går an ved å sette inn to naturlige tall for p og q... Og et eller annet poeng med at p ikke er delelig på q.
Kan du hjelpe meg videre?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Ja, det er litt tricky.

Jeg tror det beste trikset er å dele opp tankegangen i enklere deler. For eksempel ved å se på pariteten til $p$ og $q$.

Først, la oss definere at $p/q$ er en redusert brøk. Det vil si at $\text{gcd}(p, q) = 1$. De har altså ingen felles primtallsfaktorer.

Tenk så over de tre ulike mulighetene:

1: Både $p$ og $q$ er partall.

2: Både $p$ og $q$ er oddetall.

3: Den ene er partall, den andre er oddetall.

Det skal la seg avgjøre at alle disse tre tilfellene enten fører til en selvmotsigelse, eller at $p^3 + 3pq^2 - q^3$ ikke kan bli $0$.

Jeg unngår å si svarene rett ut, fordi det er veldig lærerikt å tenke over akkurat dette, selv om du ikke kommer helt i mål selv. Spør videre hvis du står fast etter en stund.
Bilde
TordisTordis

Ja, nå skal jeg se på det :D Setter pris på at du tok deg tid til å svare. Takk!

(Godt mulig jeg spør deg senere, da :D )


* Og ett(!) eller annet poeng med at p ikke er delelig på q.

Måtte bare.
TordisTordis

Hmm...

q og p kan i alle fall ikke begge være partall...

Jeg fikk en annen ide.
Hva om jeg setter inn p/q for x og så ganger alle ledd med q^2? Da får jeg jo p^3/ q + 3pq - q^2 = 0

Da er hi 3pq og q^2 naturlige tall. Skal dette holde må også p^3/q være et naturlig tall, men dette er ikke mulig da p ikke er delelig med q. Dette betyr at likningen ikke kan ha p/q som løsning.

Dette var vel ikke helt feil?
Nå er jeg spent på din løsning :-D
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Som du sier, så kan ikke begge være partall.

Hvis begge er oddetall, så vil $p^3 + 3pq - q^3$ ikke kunne være 0, fordi vi får (oddetall + oddetall - oddetall) som blir et nytt oddetall.

Liknende argument for dersom de har forskjellig paritet.
Bilde
TordisTordis

Ja, jeg forstår at det er lite jeg husker fra bevisføring fra vgs...


Tusen takk!
josi

Er det åpenbart at ikke både p og q kan være partall? Ved å sette p = 2r og q = 2s får vi:

2^3*r^3 +3*2r*2^2s^2-2^3*s^3 = 0 . Her kan vi forkorte med 2^3, og vi er tilbake i det samme uttrykket, men med ulike variabelnavn.
Hvis r eller s eller begge er odde, får vi em motsigelese. Hvis de begge er partall, kan vi fortsett å forkorte til r eller s er et oddetall. Dermed motsigelse, men i utgangspunktet var den (for meg) ikke åpenbar.

TordisTordis forslag om å multiplisere med q^2 er snedig, men det strander vel på at q kan være oddetallet 1. Da får vi ikke noen motsigelse.
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

josi skrev:Er det åpenbart at ikke både p og q kan være partall?
Ja, fordi vi definerte $x = p/q$ der $\text{gcd}(p, q) = 1$. Dersom begge er partall vil begge ha $2$ som felles faktor.
Bilde
josi

Takk! I etterkant er det meste åpenbart og intuitivt!
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Matematikk i et nøtteskall :D
Bilde
TordisTordis

Men hvorfor kunne ikke p og q være ett oddetall og ett partall? (Mulig jeg er helt fjern nå :roll: )
josi

Hvis p er odde og q et partall, får vi oddetall + partall - partall som er et oddetall.
Hvis q er odde og p et partall, får vi partall +partall - oddetall som også er et oddetall.
Altså en motsigelse i begge tilfeller da likningen sier at summen skal være lik null som er et partall.
zzzivert
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 27/10-2014 09:26

En annen måte å løse det på.
Hvis $p^3+3pq^2-q^3=0$ der $(p,q)=1$ så må vi ha at $p(p^2+3pq)=q^3$.
Så dersom et primtall deler $p$, må det også dele $q^3$ og derfor også $q$.
Men siden $(p,q)=1$ så må $p=\pm1$.
Vi kan også skrive det om til $q(q^2-3pq)=p^3$, og med samme argument får vi at $q=\pm1$.
Siden $(p,q)=(1,1) \vee (-1,1)$ ikke er en løsninger, har ikke likningen noen løsninger.
Sist redigert av zzzivert den 16/07-2019 15:45, redigert 1 gang totalt.
Svar