Fluksintegral - matematikk 2 :-)

[Anonymjente]

Hei! Trenger litt hjelp med denne oppgaven

Beregn fluksintegralet

[tex]\int \int_{S} F \cdot N dS[/tex]

Der vektorfeltet F er gitt ved
[tex]F(x, y, z) = (5x^2 + ye^y)i + 3y^2 j + z k[/tex]

der S er den øvre halvdelen definert av [tex]x^2 + y^2 + z^2 = 4, z > 0,[/tex]
og enhetsnormalen har positiv k-komponent.


Det jeg skjønner er at jeg må bruke divergensteoremet. Jeg laget en lukket flate, ved å legg til bunnen.

[tex]\int \int \int_{T} div F dV = \int \int_{S} F\cdot N dS + \int \int_{B} F\cdot N_{b} dS[/tex]

Jeg finner ut at [tex]\int \int_{B} F\cdot N_{b} dS[/tex] blir lik null.
Men nå kommer det jeg ikke forstår
Dette sier fasiten:

Divergensen til F er div F = 10x + 6y + 1. Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null, så vi ender med

[tex]\int \int_{S} F\cdot N dS = \int \int \int _{T} 1 dV = 16\pi /3[/tex]

Det jeg ikkje forstår er dette:

"Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null"

Hvorfor får vi bare: [tex]\int \int \int _{T} 1 dV[/tex]?

Om det var uforståelig det jeg skrev (er oppgave 5):
oppgaven : https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... 05_15v.pdf /
fasiten: https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... 15v_lf.pdf

Håper noen kan hjelpe!

[Gustav]

Det jeg ikkje forstår er dette:

"Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null"

Hvorfor får vi bare: [tex]\int \int \int _{T} 1 dV[/tex]?

$\iiint_T 10x+6y+1 \,dV=10\iiint_T x\, dV+6\iiint_T y\, dV +\iiint_T 1\, dV$

$\iiint_T x\, dV =0$ fordi integrasjonsområdet er symmetrisk om yz-planet samtidig som at integranden er antisymmetrisk om yz-planet. Dvs. at ethvert bidrag til integralet i punkt (x,y,z) nulles ut av bidraget i punkt (-x,y,z). (Tenk her på integralet som en Riemannsum, dvs. summen av funksjonsverdiene til f(x,y,z)=x over alle infinitesimale bokser som utgjør området T)

Dette er bare en tredimensjonal versjon av følgende: $\int_{-a}^a x\,dx=0$ fordi integranden er antisymmetrisk om origo samtidig som at integrasjonsområdet er symmetrisk om origo.

Alternativt: La $T_{-}=\{p\in T: x\le 0\}$ og $T_+=T\setminus T_{-}$, slik at $\iiint_T x\, dV=\iiint_{T_-} x\, dV+\iiint_{T_+} x\, dV$. Ved å foreta variabelskiftet $x\mapsto -x$ i det første integralet til høyre, fås $\iiint_{T_-} x\, dV=-\iiint_{T_+} x\, dV$, så $\iiint_{T} x\, dV=0$

[Anonymjente]

Det jeg ikkje forstår er dette:

"Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null"

Hvorfor får vi bare: [tex]\int \int \int _{T} 1 dV[/tex]?

$\iiint_T 10x+6y+1 \,dV=10\iiint_T x\, dV+6\iiint_T y\, dV +\iiint_T 1\, dV$

$\iiint_T x\, dV =0$ fordi integrasjonsområdet er symmetrisk om yz-planet samtidig som at integranden er antisymmetrisk om yz-planet. Dvs. at ethvert bidrag til integralet i punkt (x,y,z) nulles ut av bidraget i punkt (-x,y,z). (Tenk her på integralet som en Riemannsum, dvs. summen av funksjonsverdiene til f(x,y,z)=x over alle infinitesimale bokser som utgjør området T)

Dette er bare en tredimensjonal versjon av følgende: $\int_{-a}^a x\,dx=0$ fordi integranden er antisymmetrisk om origo samtidig som at integrasjonsområdet er symmetrisk om origo.

Alternativt: La $T_{-}=\{p\in T: x\le 0\}$ og $T_+=T\setminus T_{-}$, slik at $\iiint_T x\, dV=\iiint_{T_-} x\, dV+\iiint_{T_+} x\, dV$. Ved å foreta variabelskiftet $x\mapsto -x$ i det første integralet til høyre, fås $\iiint_{T_-} x\, dV=-\iiint_{T_+} x\, dV$, så $\iiint_{T} x\, dV=0$

Åhh! Tusen tusen takk! Jeg forsto det nå!!

[Anonymjente]

Det jeg ikkje forstår er dette:

"Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null"

Hvorfor får vi bare: [tex]\int \int \int _{T} 1 dV[/tex]?

$\iiint_T 10x+6y+1 \,dV=10\iiint_T x\, dV+6\iiint_T y\, dV +\iiint_T 1\, dV$

$\iiint_T x\, dV =0$ fordi integrasjonsområdet er symmetrisk om yz-planet samtidig som at integranden er antisymmetrisk om yz-planet. Dvs. at ethvert bidrag til integralet i punkt (x,y,z) nulles ut av bidraget i punkt (-x,y,z). (Tenk her på integralet som en Riemannsum, dvs. summen av funksjonsverdiene til f(x,y,z)=x over alle infinitesimale bokser som utgjør området T)

Dette er bare en tredimensjonal versjon av følgende: $\int_{-a}^a x\,dx=0$ fordi integranden er antisymmetrisk om origo samtidig som at integrasjonsområdet er symmetrisk om origo.

Alternativt: La $T_{-}=\{p\in T: x\le 0\}$ og $T_+=T\setminus T_{-}$, slik at $\iiint_T x\, dV=\iiint_{T_-} x\, dV+\iiint_{T_+} x\, dV$. Ved å foreta variabelskiftet $x\mapsto -x$ i det første integralet til høyre, fås $\iiint_{T_-} x\, dV=-\iiint_{T_+} x\, dV$, så $\iiint_{T} x\, dV=0$

Har du mulighet til å forklare noe annet også for meg?
oppgave 6 b): https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... 15_15k.pdf
Fasit: https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... 15_15k.pdf

Det jeg ikke forstår er at når fasiten ser på S1 so blir grensene 0<r<1.
Altså den øvste flaten S1 er jo: z = 4-(3x^2 + y^2). Dersom en projekserer denne ned i xy-planet so blir jo ikke dette en sirkel med radius 1. Så forstår ikkje hvorfor grensen blir 0<r<1.

[Gustav]

Det jeg ikke forstår er at når fasiten ser på S1 so blir grensene 0<r<1.
Altså den øvste flaten S1 er jo: z = 4-(3x^2 + y^2). Dersom en projekserer denne ned i xy-planet so blir jo ikke dette en sirkel med radius 1. Så forstår ikkje hvorfor grensen blir 0<r<1.

Det er projeksjonen av skjæringskurven mellom de to flatene ned på xy-planet som er en sirkel med radius $1$ (som er forskjellig fra nivåkurvene til $S_1$), og som avgjør integrasjonsgrensen for $r$. Skjæringskurven finner du ved å sette $x^2+3y^2=4-(3x^2+y^2)\Rightarrow x^2+y^2=1$, som er en sirkel med radius 1.