funksjonal-likning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Noen som løser denne:

[tex]f: Z\,->\,Z[/tex]

[tex]f(x+y)=f(x)+f(y)+6xy+1[/tex]
der
[tex]f(x)=f(-x)[/tex]


en metode er jo:
[tex]f(0)=-1[/tex],
[tex]f(1)=2[/tex],
[tex]f(2)=11[/tex],
[tex]f(3)=26[/tex]


og anta ett 2. gradspolynom, som ved regresjon gir:


[tex]f(x)=3x^2-1[/tex]
der
[tex]f(x)=f(-x)[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Vi setter $y=0$ og får at $f(x) = f(x) + f(0) + 1$, så $f(0) = -1$. Videre setter vi $y=-x$, hvilket gir at $-1 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) - 6x^2 + 1 = 2f(x) - 6x^2 + 1$, så $f(x) = 3x^2 - 1$ er eneste mulige løsning. Ettersom denne funksjonen faktisk tilfredsstiller funksjonalliknene, er dette eneste gyldige løsning.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

DennisChristensen skrev:Vi setter $y=0$ og får at $f(x) = f(x) + f(0) + 1$, så $f(0) = -1$. Videre setter vi $y=-x$, hvilket gir at $-1 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) - 6x^2 + 1 = 2f(x) - 6x^2 + 1$, så $f(x) = 3x^2 - 1$ er eneste mulige løsning. Ettersom denne funksjonen faktisk tilfredsstiller funksjonalliknene, er dette eneste gyldige løsning.
enkelt og greit, takker...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Svar