Divergerer og sum

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
geir72

Ut i fra det har har skjønt kan en kun finne summen av en rekke om den konvergerer, ikke sant?
Om den divergerer blir det ikke noe...
geir72

Lurer også på hvordan jeg finner konvergeringsområdet når jeg står igjen med -1<x^2<1. Hvordan blir det med rot på begge sider?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Vi kan bare finne summen dersom rekken konvergerer, helt riktig.

For å avgjøre hvilke $x$ som tilfredsstiller $-1<x^2<1$ må du se på forskjellige tilfeller. Hva skjer om $x<-1$? Hva med om $-1<x<1$? Kommer du i mål nå?
geir72

DennisChristensen skrev:Vi kan bare finne summen dersom rekken konvergerer, helt riktig.

For å avgjøre hvilke $x$ som tilfredsstiller $-1<x^2<1$ må du se på forskjellige tilfeller. Hva skjer om $x<-1$? Hva med om $-1<x<1$? Kommer du i mål nå?
Kan jeg sette opp 2 ligninger? og finne fortegnsskjema for de.

-1<x^2 og x^2<1 hvordan skal jeg tolke fortegnskjema, siden det evt er to av de. Er det der de er felles at det stemmer?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Du kan godt løse ulikhetene $-1<x^2$ og $x^2<1$ hver for seg. Det er riktignok enklere å følge hintet mitt og se på de forskjellige tilfellene.
geir72

DennisChristensen skrev:Vi kan bare finne summen dersom rekken konvergerer, helt riktig.

For å avgjøre hvilke $x$ som tilfredsstiller $-1<x^2<1$ må du se på forskjellige tilfeller. Hva skjer om $x<-1$? Hva med om $-1<x<1$? Kommer du i mål nå?
om x feks er mindre enn -1 faller det utenfor konvergeringsområdet. Litt vanskelig å se det men tenker at feks -1.1^2 blir enda mindre osv, samme for positiv ende. Hvordan gjør jeg det om jeg ikke er så heldig å få x^2 men mer avanserte stykker?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

geir72 skrev:
DennisChristensen skrev:Vi kan bare finne summen dersom rekken konvergerer, helt riktig.

For å avgjøre hvilke $x$ som tilfredsstiller $-1<x^2<1$ må du se på forskjellige tilfeller. Hva skjer om $x<-1$? Hva med om $-1<x<1$? Kommer du i mål nå?
om x feks er mindre enn -1 faller det utenfor konvergeringsområdet. Litt vanskelig å se det men tenker at feks -1.1^2 blir enda mindre osv, samme for positiv ende. Hvordan gjør jeg det om jeg ikke er så heldig å få x^2 men mer avanserte stykker?
Pass på regnerekkefølge. $(-1.1)^2 = 1.1^2$, hvilket gjør at $1.1$ ligger utenfor konvergensintervallet. Om du analyserer de andre tilfellene på samme vis vil du se at vi får at $-1<x^2<1 \iff -1<x<1$.

For mer kompliserte uttrykk finnes det to brukbare taktikker.

1. Vi kan løse ulikhetene eksplisitt. I eksempeloppgaven din tilsvarer dette å løse ulikhetene $-1<x^2$ og $x^2<1$, og å ta snittet av løsningsmengdene.

2. Vi kan tenke geometrisk. Tegn kurven til $y=x^2$. Fra dette vil du enkelt se hvilke $x$-verdier som gir det $-1<x^2<1$. Dette er en spesielt nyttig metode for ulikheter som involverer logaritmer eller potenser, gitt en god geometrisk forståelse av funksjonene $y=\ln x$ og $y=e^x$.
geir72

DennisChristensen skrev:
geir72 skrev:
DennisChristensen skrev:Vi kan bare finne summen dersom rekken konvergerer, helt riktig.

For å avgjøre hvilke $x$ som tilfredsstiller $-1<x^2<1$ må du se på forskjellige tilfeller. Hva skjer om $x<-1$? Hva med om $-1<x<1$? Kommer du i mål nå?
om x feks er mindre enn -1 faller det utenfor konvergeringsområdet. Litt vanskelig å se det men tenker at feks -1.1^2 blir enda mindre osv, samme for positiv ende. Hvordan gjør jeg det om jeg ikke er så heldig å få x^2 men mer avanserte stykker?
Pass på regnerekkefølge. $(-1.1)^2 = 1.1^2$, hvilket gjør at $1.1$ ligger utenfor konvergensintervallet. Om du analyserer de andre tilfellene på samme vis vil du se at vi får at $-1<x^2<1 \iff -1<x<1$.

For mer kompliserte uttrykk finnes det to brukbare taktikker.

Ok, vil bare takke for svar :) Men om vi velger første fremgangsmetode. Hva ser jeg på når jeg har to ligninger med fortegskjema? Hvilken velger jeg?

1. Vi kan løse ulikhetene eksplisitt. I eksempeloppgaven din tilsvarer dette å løse ulikhetene $-1<x^2$ og $x^2<1$, og å ta snittet av løsningsmengdene.

2. Vi kan tenke geometrisk. Tegn kurven til $y=x^2$. Fra dette vil du enkelt se hvilke $x$-verdier som gir det $-1<x^2<1$. Dette er en spesielt nyttig metode for ulikheter som involverer logaritmer eller potenser, gitt en god geometrisk forståelse av funksjonene $y=\ln x$ og $y=e^x$.
Svar