Finn radien

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Eg har en kjekk oppgave som krever en del likninger for å løse. Eg har klart å løse den uten likninger. Kanskje vil noen prøve seg. Oppgavens tekst tror eg skal holde.

Tegn først en regulær femkant med sidekanter på 10 cm. Sett passeren i et hjørnepunkt i femkanten og tegn en sirkellinje med radius 10 cm, som avslutter i femkantens to hjørnepunkter. Gjør dette i alle femkantens hjørner, slik at en rosett med fem propellblader fremkommer inne i femkanten. Hva blir maks størrelse på radien til de fem like store sirklene som kan innskrives i bladene?
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1685
Registrert: 03/10-2005 12:09

Problemet kan illustreres med følgende figur der r er radien i den lille sirkelen med sentrum i B:
Femkantfigur.pdf
(9.12 kiB) Lastet ned 395 ganger
Vi ser av den rettvinklete trekanten til høyre at

${\textstyle (1) \;\; AB = 10 \cdot \cos 36^{\circ} = 10 \cdot\big( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \big) = \frac{5}{2} \big( \sqrt{5} + 1 \big) }$.

Vi ser også at

$AB = AD + DB = (10 - 2r) + r = 10 - r$,

som kombinert med (1) gir

${\textstyle r = 10 - AB = 10 - \frac{5}{2} \big( \sqrt{5} + 1 \big) = \frac{5}{2}(3 - \sqrt{5})}$.
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Viss du har fått 1,90983005625 cm på radien, så er det etter mine beregninger feil.
Sist redigert av LAMBRIDA den 18/08-2019 20:56, redigert 1 gang totalt.
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Etter å ha sett nærmere på dette, så er ikke en av de små sirklene du har tegnet opp, på rett plass.
Knuta
Galois
Galois
Innlegg: 568
Registrert: 31/05-2006 14:59
Sted: Oslo
Kontakt:

Har ikke noe sted å dumpe tegningen, men jeg bruke den vanlige sinussetningen for å finne løsningen.
Da skulle radiusen etter min mening være 10-5/Sin(36grader) hvilket gir ca 1.49349 cm
Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems

[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Etter fasiten er dette svaret også feil.
Eg skulle ha kunnet det å legge ved tegninger, det hadde vært en fordel. Eg håper det ikke er uklart hvor sirklene er innskrevet. Eg kan nevne at hver sirkel tangerer fire sirkellinjer, altså to innvendig og to utvendig og ligger i et fritt felt i et blad, uten å tangere nabosirklene. Uten ligninger brukte eg to trekanter som hjelpemiddel for løsningen. Med ligninger sies det at det kreves omfattende ligninger.
Knuta
Galois
Galois
Innlegg: 568
Registrert: 31/05-2006 14:59
Sted: Oslo
Kontakt:

Sorry. Jeg bommet på å lese og forstå oppgaven. Jeg fant radiusen på den lille sirkelen som tangerte alle fem sirkelene. Etter å ha finlest så ser jeg at Solar har rett.
Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems

[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Det var da voldsomt til mistolking av denne oppgaven. Denne oppgave vil trolig ikke føre fram, etter mitt ønske.
Svar