Hei! holder på med denne oppgaven:
Første tanke var å bruke definisjonen
[tex](Lf)(s)= \int_{0}^{\infty } e^{-st}f(t) dt[/tex]
vi har at [tex]f(\alpha t)=\alpha ^k f(t) \Leftrightarrow f(t)=\frac{f(\alpha t)}{\alpha^k}[/tex]
så,
[tex](Lf)(s)= \int_{0}^{\infty } e^{-st}f(t) dt = \frac{1}{\alpha^k} \int_{0}^{\infty } e^{-st}f(at) dt[/tex]
Men, jeg kom ikke så alt for langt... så for å bare prøve videre søker jeg opp hvordan man løser Laplace for [tex]f(\alpha t)[/tex]; [tex](Lf)(s)=\frac{1}{\alpha }F(\frac{s}{\alpha })[/tex]
Da vet jeg i hvertfall
[tex](Lf)(s)=\frac{1}{\alpha^k} \int_{0}^{\infty } e^{-st}f(at) dt = \alpha^{-k-1}F(\frac{s}{\alpha})[/tex]
Men så sitter jeg litt fast. Samt at det føles som juks/feil å bruke tabellhjelp. Så kunne trengt litt tips i riktig retning...
Laplace av funksjon med skaleringssymmetri [M4]
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Fra definisjonen:
$$(\mathcal L f)(s) = \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-st} f(t) \mathrm{d}t$$
Vi bruker skalerings-symmetrien for bytte ut $f(t) = \frac{f(\alpha t)}{\alpha^k}$.
Vi kan også smugle inn $\alpha$ i eksponentialfunksjonen: $e^{-st} = e^{\frac{-s}{\alpha} \alpha t}$
Altså er vi kommet til:
$$(\mathcal L f)(s) = \frac 1{\alpha^k} \int_{t=0}^{t=\infty} e^{\frac{-s}{\alpha} \alpha t} f(\alpha t) \mathrm{d}t$$
Vi ønsker nå å gjennomføre en variabelsubstitusjon.
Innfører $\tau = \alpha t$. Altså $\frac{ \mathrm{d} \tau} {\mathrm{d}t } = \alpha$.
Integrasjonsgrensene endres ikke:
$t = 0 \Rightarrow \tau = \alpha \cdot 0 = 0$
$t = \infty \Rightarrow \tau = \alpha \cdot \infty = \infty$
Altså:
$$(\mathcal L f)(s) = \frac 1{\alpha^k} \int_{\tau =0}^{\tau =\infty} e^{\frac{-s}{\alpha} \tau} f(\tau) \frac{\mathrm{d} \tau}{\alpha} = \frac 1{\alpha^{k+1}} \int_{\tau =0}^{\tau =\infty} e^{\frac{-s}{\alpha} \tau} f(\tau) \mathrm{d} \tau = \frac 1{\alpha^{k+1}} (\mathcal L f)(\frac s \alpha)$$
$$(\mathcal L f)(s) = \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-st} f(t) \mathrm{d}t$$
Vi bruker skalerings-symmetrien for bytte ut $f(t) = \frac{f(\alpha t)}{\alpha^k}$.
Vi kan også smugle inn $\alpha$ i eksponentialfunksjonen: $e^{-st} = e^{\frac{-s}{\alpha} \alpha t}$
Altså er vi kommet til:
$$(\mathcal L f)(s) = \frac 1{\alpha^k} \int_{t=0}^{t=\infty} e^{\frac{-s}{\alpha} \alpha t} f(\alpha t) \mathrm{d}t$$
Vi ønsker nå å gjennomføre en variabelsubstitusjon.
Innfører $\tau = \alpha t$. Altså $\frac{ \mathrm{d} \tau} {\mathrm{d}t } = \alpha$.
Integrasjonsgrensene endres ikke:
$t = 0 \Rightarrow \tau = \alpha \cdot 0 = 0$
$t = \infty \Rightarrow \tau = \alpha \cdot \infty = \infty$
Altså:
$$(\mathcal L f)(s) = \frac 1{\alpha^k} \int_{\tau =0}^{\tau =\infty} e^{\frac{-s}{\alpha} \tau} f(\tau) \frac{\mathrm{d} \tau}{\alpha} = \frac 1{\alpha^{k+1}} \int_{\tau =0}^{\tau =\infty} e^{\frac{-s}{\alpha} \tau} f(\tau) \mathrm{d} \tau = \frac 1{\alpha^{k+1}} (\mathcal L f)(\frac s \alpha)$$