Tallteori

[Gustav]

Finn 6 forskjellige positive heltall $x_1,x_2,...,x_6$ slik at $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_6}=1$

[Emilga]

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1807}+\frac{1}{3263442}=1$$


Oppfølger: Finn $n$ forskjellige positive heltall $x_n$ slik at:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_1\cdot x_2\cdots x_n}=1$$

[Solar Plexsus]

$$Anta at $x_1,x_2,\dots ,x_n$ er $n$ ulike naturlige tall som tilfredsstiller likningen

$(1)\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}+\frac{1}{P_n}=1$,

der $P_n=x_1\cdot x_2\cdots x_n$. I fortsettelsen lar vi $S_n$ være venstre side av likning (1).

Vi definerer den monotont stigende sekvensen $x_1,x_2,x_3\dots$ rekursivt ved $x_1=2$ og

$(2)x_{k+1}=1+x_1{x}_2\cdots x_k=1+P_k$.

der $k\in \mathbb{N}$.

Vi skal bevise ved induksjon at heltallene i denne sekvensen tilfredsstiller likning (1).

Basis for induksjonen: Ved å velge $n=1$, får vi at

$S_1=\frac{2}{x_1}=\frac{2}{2}=1$.

Så likning (1) er tilfredsstilt når $n=1$.

Induksjonstrinnet: Anta at likning (1) er tilfredsstilt for $n=k$. Herav følger at

$S_{k+1}=(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_k})+\frac{1}{x_{k+1}}+\frac{1}{P_{k+1}}$

$=(S_k-\frac{1}{P_k})+\frac{1}{x_{k+1}}+\frac{1}{P_k\cdot x_{k+1}}$

$=(S_k-\frac{1}{P_k})+\frac{1}{P_k+1}+\frac{1}{P_k(P_k+1)}$ (ettersom $x_{k+1}=P_k+1$ ifølge formel (2))

$=S_k-\frac{1}{P_k(P_k+1)}+\frac{1}{P_k(P_k+1)}$

$=S_k$

$=1$

ifølge induksjonsantagelsen. Dette fullfører induksjonstrinnet. q.e.d