Convolution

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gjest123

Er litt usikker på hvordan jeg skal løse følgende oppgave:
https://imgur.com/a/fGQduRX

vet jo at fra regelen om at konvolusjon er kommutativ har vi
[tex](f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau=\int_0^t g(t-\tau)f(\tau)d\tau=(g*f)(t)[/tex]
og dessuten
[tex](f*g)'=f'*g=f*g'[/tex]

Men synes det virker for enkelt at dette er tilstrekkelig bevis på det første oppgaven ber om.
Andre del forstår jeg ikke helt hvordan man kommer frem til, så om noen kan komme med hint eller litt hjelp ville det blitt satt stor pris på.
Gjest

Fikk opplyst fra studass at 3(i) egentlig ikke skal løses, er kun for å brukes i 3(ii). Men første del er i hvert fall så enkel som man først tror; bare å utføre operasjonen. den andre skjønner ikke jeg heller hvordan man kommer frem til
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Kjenner du til Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?
Gjest123

Emilga skrev:Kjenner du til Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?
Nei, har ikke hørt om det. Så litt på det nå, men kan ikke si jeg ble noe klokere. Kunne forsøkt å forklare sammenhengen?
Gjest123

Emilga skrev:Kjenner du til Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?
Eller jo begynner å forstå. Men skjønner ikke helt siste del med å bruke partiell derivasjon for å få
[tex]\int _0^tf'(t-r)g(r)dr[/tex]
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

La oss skrive Leibniz' Integralregel på formen:

$$ \frac d{dt} \left( \int_{a(t)}^{b(t)} h(t, r) dr \right) = h(t, b(t)) \cdot \frac d{dt} b(t) - h(t, a(t)) \cdot \frac d{dt} a(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac \partial{\partial t} h(t, r) dr$$

Da er det lettere å gjenkjenne at: $a(t) = 0$, $b(t) = t$, og $h(t, r) = f(t-r)g(r)$, i vårt eksempel.

Dermed blir integranden på høyre side:

$$ \frac \partial{\partial t} h(t,r) = \frac{\partial f(t-r)}{\partial t} g(r) + f(t-r) \frac{\partial g(r)}{\partial t} = f^\prime (t-r) \frac{\partial (t-r)}{\partial t} g(r) = f^\prime (t-r) \cdot 1 \cdot g(r) = f^\prime (t-r) g(r)$$

Og så får vi f.eks. $h(t, b(t)) = h(t, t) = f(t-t)g(t) = f(0)g(t)$.
Svar