Er litt usikker på hvordan jeg skal løse følgende oppgave:
https://imgur.com/a/fGQduRX
vet jo at fra regelen om at konvolusjon er kommutativ har vi
[tex](f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau=\int_0^t g(t-\tau)f(\tau)d\tau=(g*f)(t)[/tex]
og dessuten
[tex](f*g)'=f'*g=f*g'[/tex]
Men synes det virker for enkelt at dette er tilstrekkelig bevis på det første oppgaven ber om.
Andre del forstår jeg ikke helt hvordan man kommer frem til, så om noen kan komme med hint eller litt hjelp ville det blitt satt stor pris på.
Convolution
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Fikk opplyst fra studass at 3(i) egentlig ikke skal løses, er kun for å brukes i 3(ii). Men første del er i hvert fall så enkel som man først tror; bare å utføre operasjonen. den andre skjønner ikke jeg heller hvordan man kommer frem til
Kjenner du til Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?
Nei, har ikke hørt om det. Så litt på det nå, men kan ikke si jeg ble noe klokere. Kunne forsøkt å forklare sammenhengen?Emilga skrev:Kjenner du til Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?
Eller jo begynner å forstå. Men skjønner ikke helt siste del med å bruke partiell derivasjon for å fåEmilga skrev:Kjenner du til Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?
[tex]\int _0^tf'(t-r)g(r)dr[/tex]
La oss skrive Leibniz' Integralregel på formen:
$$ \frac d{dt} \left( \int_{a(t)}^{b(t)} h(t, r) dr \right) = h(t, b(t)) \cdot \frac d{dt} b(t) - h(t, a(t)) \cdot \frac d{dt} a(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac \partial{\partial t} h(t, r) dr$$
Da er det lettere å gjenkjenne at: $a(t) = 0$, $b(t) = t$, og $h(t, r) = f(t-r)g(r)$, i vårt eksempel.
Dermed blir integranden på høyre side:
$$ \frac \partial{\partial t} h(t,r) = \frac{\partial f(t-r)}{\partial t} g(r) + f(t-r) \frac{\partial g(r)}{\partial t} = f^\prime (t-r) \frac{\partial (t-r)}{\partial t} g(r) = f^\prime (t-r) \cdot 1 \cdot g(r) = f^\prime (t-r) g(r)$$
Og så får vi f.eks. $h(t, b(t)) = h(t, t) = f(t-t)g(t) = f(0)g(t)$.
$$ \frac d{dt} \left( \int_{a(t)}^{b(t)} h(t, r) dr \right) = h(t, b(t)) \cdot \frac d{dt} b(t) - h(t, a(t)) \cdot \frac d{dt} a(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac \partial{\partial t} h(t, r) dr$$
Da er det lettere å gjenkjenne at: $a(t) = 0$, $b(t) = t$, og $h(t, r) = f(t-r)g(r)$, i vårt eksempel.
Dermed blir integranden på høyre side:
$$ \frac \partial{\partial t} h(t,r) = \frac{\partial f(t-r)}{\partial t} g(r) + f(t-r) \frac{\partial g(r)}{\partial t} = f^\prime (t-r) \frac{\partial (t-r)}{\partial t} g(r) = f^\prime (t-r) \cdot 1 \cdot g(r) = f^\prime (t-r) g(r)$$
Og så får vi f.eks. $h(t, b(t)) = h(t, t) = f(t-t)g(t) = f(0)g(t)$.