Bevis

[matte42]

Hvordan beviser man at m^2-4m+6 er positivt uansett hvilket tall m er? er det noe som motbeviser dette? har plugget inn ulike tall og det ser ut til at det stemmer, men hvordan motbeviser jeg dette. (er det mulig)

[Emilga]

For å vise at $m^2-4m+6$ for alle $m$ er det flere måter vi kan gå frem på.

(Jeg antar du mener for positive, heltallige $m=1,2,3,\dots$.)

Det er uansett alltid lurt å teste forskjellige verdier av $m$ for å overbevise seg selv om at påstanden faktisk er sann.

Vi kan f.eks. skrive uttrykket som en andregradsfunksjon: $f(x)=x^2-4x+6$.

Så kan vi se om $f(x)=0$ har noen nullpunkt ved å bruke andregradslikningen.

Men siden $\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{16-4\cdot 1\cdot 6}=\sqrt{-8}$, betyr det at $f$ ikke har et nullpunkt (vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall). Dvs. uttrykket vårt skjærer aldri x-aksen. Dvs. enten er $f$ alltid positiv, eller så er $f$ alltid negativ.

Da er det nok å sjekke om $f$ er positiv for en tilfeldig verdi av $x$, f.eks. $x=1$, som gir oss $f(1)=1^2-4\cdot 1+6=3$, som jo er positiv. Altså er $f$ positiv for alle verdier av $x$. Altså er $m^2-4m+6$ alltid positiv, for alle verdier av $m$.


Et annet bevis får vi ved å se på: $m^2+6-4m$. Dersom dette skal være negativt, så må $4m>m^2+6$, siden det vi trekker fra må være mer enn det positive tallet vi starter med.

Vi kan jo sjekke om dette stemmer for $m=1,2,3,4$, men da ser vi at $4m$ er mindre enn $m^2+6$, altså er $m^2+6-4m$ større enn $0$ for de fire første verdiene av $m$.

Hva med når $m>4$? Vel, da har vi at:

$m^2+6=m\cdot m+6>4m+6>4m$, altså vil uttrykket vårt aldri være negativt for $m>4$ heller.

Altså er $m^2-4m+6$ positiv for alle $m=1,2,3,\dots$.

[DennisChristensen]

Den enkleste metoden er nok å fullføre kvadratet. Ettersom $m^2-4m+6=(m^2-4m+4)+2=(m-2{)}^2+2,$ ser vi at uttrykket er $\ge 2$ for alle verdier av $m$.

[Emilga]

Snedig!

[Nebuchadnezzar]

Litt i samme gate, merk at $m^2-4m+6=-m(4-m)+6$. Hvor en kan tenke på $m(4-m)$ som arealet til ett rektangel med sider $m$ og $4-m$.
Ett rektangel har størst areal når det er ett kvadrat -- altså når sidene er like lange -- som inntreffer når $m=2$. Altså har vi at

$m^2-4m+6=-m(4-m)+6\ge -2(4-2)+6\ge -4+2=2>0$.

[Aleks855]

Code: Select all

for (int m = 1; ; m++) {
  if (m * m - 4 * m + 6 <= 0) {
    print(m);
    exit();
  }
}

Bare så vi er ekstra sikre, så lar jeg denne kjøre evig.

Forøvrig, kan vi få flere moderatorer inn her med en løsning?

[Nebuchadnezzar]

Hmmm, hva om en negativ $m$ er en løsning montro Aleks..

[Aleks855]

Da tester jeg for det etter jeg har gått gjennom alle de positive.