Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x)

Innlegg Eksplisitt » 08/12-2012 20:53

God dag.

Oppgaven er denne:

a) Anta [tex]f^\prime[/tex] er kontinuerlig på [tex][a, b][/tex]. Vis at det finnes et tall K slik at

[tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex]

for alle [tex]x, y \in [a, b][/tex].

b) La [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex]. Vis at det ikke finnes en konstant [tex]K[/tex] slik at [tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex]. Hvorfor strider ikke dette mot a)?



På oppgave a) tenkte jeg at jeg kunne gjøre slik:

Middelverdisetningen gir

[tex]f(x)-f(y)=f^\prime(c)(x-y)[/tex]

Da har vi at
[tex]|f(x)-f(y)|=|f^\prime(c)||x-y|\le K|x-y|[/tex]

der [tex]K = \max_{c\in[a,b]} |f^\prime(c)|[/tex]

Noe jeg har bommet på her?

Oppgave b) ser jeg ikke helt hvordan skal løses, så hyggelig om noen kunne komme med noen tips der.

Takk for alle innspill.
Sist endret av Eksplisitt den 08/12-2012 22:16, endret 1 gang
Eksplisitt offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 90
Registrert: 22/03-2008 15:50

Innlegg Vektormannen » 08/12-2012 21:36

a) EDIT2: Nå ser jeg at du skrev at f derivert (vanskelig å se apostrofen) var kontinuerlig. Da er jeg med på saken :P Da ser det helt riktig ut! :)

b) Her må jo da en av forutsetninge for a) feile. Hvis a,b skal kunne være vilkårlige konstanter så får jo vi åpenbare problemer med denne funksjonen. Hva står det egentlig i oppgaven?
Sist endret av Vektormannen den 08/12-2012 22:03, endret 1 gang
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Vektormannen offline
Euler
Euler
Brukerens avatar
Innlegg: 5889
Registrert: 26/09-2007 18:35
Bosted: Trondheim

Innlegg Lord X » 08/12-2012 21:58

Vektormannen skrev:a)
EDIT: Jeg ser først nå at det kun står at f er kontinuerlig i oppgaven. Da vil jo ikke f nødvendigvis være deriverbar, så beviset holder jo ikke helt. Det du i stedet kan se på er at vi vet at f har et absolutt minimum og maksimum på [a,b].


Det Eksplisitt har skrive er jo at den deriverte funksjonen er kontinuerleg, så då bør vi vel kunne anta at den eksisterer. Men hadde vore greit å sett akkurat kva som som stod i oppgaven ja. Spesielt på b), ettersom den deriverte funksjonen ikkje ein gong eksisterer når x=0!
"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics"
Lord X offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 249
Registrert: 18/05-2004 16:25

Innlegg Vektormannen » 08/12-2012 22:07

Ja, det var bl.a. det jeg la i åpenbare problemer. :p Så lenge a > 0 så er det vel ingen problemer her; da er jo [tex]f^\prime[/tex] både eksisterende og kontinuerlig?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Vektormannen offline
Euler
Euler
Brukerens avatar
Innlegg: 5889
Registrert: 26/09-2007 18:35
Bosted: Trondheim

Innlegg Eksplisitt » 08/12-2012 22:21

Endret litt på førsteinnlegget slik at det ble tydeligere at det var en apostrof der.

Jeg har skrevet oppgaven akkurat slik den står i boka (Kalkulus av Tom Lindstrøm, oppgaven skal være gitt som en eksamensoppgave ved UiO en eller annen gang). Så noe mer kan jeg ikke komme med.
Eksplisitt offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 90
Registrert: 22/03-2008 15:50

Innlegg Lord X » 08/12-2012 22:42

Eg antar det oppgaven meiner er at det ikkje finst ein K slik at

[tex]|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq{K|x-y|}[/tex] for alle x,y der funksjonen er definert.

Anta at det finst ein slik K og la y=0. Då finst det ein K slik at:

[tex]|\sqrt{x}|\leq{K|x|}[/tex] for alle [tex]x\geq{0}[/tex] dvs. slik at

[tex]\frac{1}{K}\leq{\frac{|x|}{|\sqrt{x}|}}[/tex]

Vi ser at dersom ein slik K skal eksistere så må K vere større enn null.

Dersom vi prøver [tex]x=\frac{1}{4K^2}[/tex] ser vi at dette impliserer

[tex]\frac{1}{K}\leq{\frac{1}{4K^2}\cdot{\frac{2K}{1}}}=\frac{1}{2K}[/tex]

som er ein motsigelse.
"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics"
Lord X offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 249
Registrert: 18/05-2004 16:25

Innlegg Eksplisitt » 08/12-2012 22:55

Det virker rimelig. Så er vel svaret på siste del at [tex]f^\prime(x)[/tex] ikke er definert, og dermed ikke kontinuerlig, i [tex]x=0[/tex].

Takk, takk.
Eksplisitt offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 90
Registrert: 22/03-2008 15:50

Innlegg Lord X » 08/12-2012 23:03

Jau! :)
"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics"
Lord X offline
Cauchy
Cauchy
Brukerens avatar
Innlegg: 249
Registrert: 18/05-2004 16:25

Re: Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x

Innlegg pederlh » 18/09-2019 13:54

Hei!

Bumper denne tråden, selv om forrige innlegg er fra 2012. Jeg sitter med samme oppgave, men jeg sliter med å se hvorfor [tex]K[/tex] ikke kan finnes i oppgave b).

[tex]f(x) = \sqrt x[/tex] er vel kun definert (og kontinuerlig) i intervallet [tex][0, \infty)[/tex], så det burde vel holde at [tex]f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}[/tex] er kontinuerlig i det indre intervallet [tex](0, \infty)[/tex] for at vi skal kunne bruke middelverdisetningen. Og da burde vel [tex]K[/tex] eksistere?
pederlh offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 18/09-2019 13:41

Re: Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x

Innlegg Gustav » 18/09-2019 17:17

Middelverdisetningen gjelder, også i b), men den er ikke nyttig her.

b) La [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex]. Vis at det ikke finnes en konstant [tex]K[/tex] slik at [tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex].



La $y=0$ og $x>0$. Da vil $|\frac{\sqrt{x}}{x}|=\frac{1}{\sqrt{x}}\to \infty$ når $x\to 0$. Dermed fins ingen $K$ som oppfyller ulikheten.

Hvorfor strider ikke dette mot a)


Fordi $f'(0)$ ikke eksisterer i b), dermed er ikke alle forutsetningene i a) oppfylt.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4295
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x

Innlegg Emilga » 18/09-2019 17:18

Det er riktig som du sier at middelverdisetningen bare krever at $f^\prime$ er kontinuerlig på $(a, b)$. Men siden dette intervallet er åpent (evt. halv-åpent), så har vi ingen garanti for at $f^\prime$ har en veldefinert maksverdi på dette intervallet.

Middelverdisetningen gir oss:
$$ \lvert f(x) - f(y) \rvert = \lvert f^\prime (c) \rvert \cdot \lvert x - y \rvert $$
Dersom vi velger $K$ slik at:
$$ K = \max_{c \in (0, \infty)} \lvert f^\prime (c) \rvert $$
Så kan vi skrive:
$$ \lvert f(x) - f(y) \rvert \leq K \lvert x - y \rvert $$
Men $K$ er ikke veldefinert, siden:
$$\max_{c \in (0, \infty)} \lvert f^\prime (c) \rvert = + \infty $$
når $f(x) = \sqrt{x}$.


Dersom $f^\prime$ var kontinuerlig på et lukket intervall $[a,b]$ så vil den alltid ha en veldefinert maksverdi. (Extreme value theorem.)


Vi kan videre bevise at uansett hvilken verdi av $K$ vi velger, så finnes det verdier for $x$, og $y$ som bryter ulikheten.

Anta det finnes en $K > 0$ slik at $ \lvert f(x) - f(y) \rvert \leq K \lvert x - y \rvert$ for alle $x$, og $y$.

Da kan vi velge $y = 0$, og ulikheten burde fortsatt være oppfylt for alle verdier av $x$:

$$\lvert f(x) \rvert \leq K \lvert x \rvert$$

$$\lvert \sqrt{x} \rvert \leq K \lvert x \rvert$$

$$ \frac 1{\lvert \sqrt{x} \rvert} \leq K$$

Men dersom vi velger $x < \frac 1{K^2}$, så vil:

$$ \frac 1{\lvert \sqrt{x} \rvert} > K$$, som bryter ulikheten.

Altså finnes det ingen $K$ slik at ulikheten er oppfyllt for alle $x$, $y$.

EDIT: Snipet av Gustav! :o
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1431
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x

Innlegg pederlh » 18/09-2019 20:12

Tusen takk til begge to for svarene deres! Forstår mye mer nå. Kult at ekstremalverdisetningen også dukker opp i dette beviset :)
pederlh offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 18/09-2019 13:41

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 106 gjester