Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x)

[Eksplisitt]

God dag.

Oppgaven er denne:

a) Anta $f^{\prime }$ er kontinuerlig på $[a,b]$. Vis at det finnes et tall K slik at

$|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$

for alle $x,y\in [a,b]$.

b) La $f(x)=\sqrt{x}$. Vis at det ikke finnes en konstant $K$ slik at $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$. Hvorfor strider ikke dette mot a)?



På oppgave a) tenkte jeg at jeg kunne gjøre slik:

Middelverdisetningen gir

$f(x)-f(y)=f^{\prime }(c)(x-y)$

Da har vi at
$|f(x)-f(y)|=|f^{\prime }(c)||x-y|\le K|x-y|$

der $K=\underset{c\in [a,b]}{max}|f^{\prime }(c)|$

Noe jeg har bommet på her?

Oppgave b) ser jeg ikke helt hvordan skal løses, så hyggelig om noen kunne komme med noen tips der.

Takk for alle innspill.

[Vektormannen]

a) EDIT2: Nå ser jeg at du skrev at f derivert (vanskelig å se apostrofen) var kontinuerlig. Da er jeg med på saken Da ser det helt riktig ut!

b) Her må jo da en av forutsetninge for a) feile. Hvis a,b skal kunne være vilkårlige konstanter så får jo vi åpenbare problemer med denne funksjonen. Hva står det egentlig i oppgaven?

[Lord X]

a)
EDIT: Jeg ser først nå at det kun står at f er kontinuerlig i oppgaven. Da vil jo ikke f nødvendigvis være deriverbar, så beviset holder jo ikke helt. Det du i stedet kan se på er at vi vet at f har et absolutt minimum og maksimum på [a,b].

Det Eksplisitt har skrive er jo at den deriverte funksjonen er kontinuerleg, så då bør vi vel kunne anta at den eksisterer. Men hadde vore greit å sett akkurat kva som som stod i oppgaven ja. Spesielt på b), ettersom den deriverte funksjonen ikkje ein gong eksisterer når x=0!

[Vektormannen]

Ja, det var bl.a. det jeg la i åpenbare problemer. :p Så lenge a > 0 så er det vel ingen problemer her; da er jo $f^{\prime }$ både eksisterende og kontinuerlig?

[Eksplisitt]

Endret litt på førsteinnlegget slik at det ble tydeligere at det var en apostrof der.

Jeg har skrevet oppgaven akkurat slik den står i boka (Kalkulus av Tom Lindstrøm, oppgaven skal være gitt som en eksamensoppgave ved UiO en eller annen gang). Så noe mer kan jeg ikke komme med.

[Lord X]

Eg antar det oppgaven meiner er at det ikkje finst ein K slik at

$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le K|x-y|$ for alle x,y der funksjonen er definert.

Anta at det finst ein slik K og la y=0. Då finst det ein K slik at:

$|\sqrt{x}|\le K|x|$ for alle $x\ge 0$ dvs. slik at

$\frac{1}{K}\le \frac{|x|}{|\sqrt{x}|}$

Vi ser at dersom ein slik K skal eksistere så må K vere større enn null.

Dersom vi prøver $x=\frac{1}{4K^2}$ ser vi at dette impliserer

$\frac{1}{K}\le \frac{1}{4K^2}\cdot \frac{2K}{1}=\frac{1}{2K}$

som er ein motsigelse.

[Eksplisitt]

Det virker rimelig. Så er vel svaret på siste del at $f^{\prime }(x)$ ikke er definert, og dermed ikke kontinuerlig, i $x=0$.

Takk, takk.

[Lord X]

Jau!

[pederlh]

Hei!

Bumper denne tråden, selv om forrige innlegg er fra 2012. Jeg sitter med samme oppgave, men jeg sliter med å se hvorfor $K$ ikke kan finnes i oppgave b).

$f(x)=\sqrt{x}$ er vel kun definert (og kontinuerlig) i intervallet $[0,\mathrm{\infty })$, så det burde vel holde at $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ er kontinuerlig i det indre intervallet $(0,\mathrm{\infty })$ for at vi skal kunne bruke middelverdisetningen. Og da burde vel $K$ eksistere?

[Gustav]

Middelverdisetningen gjelder, også i b), men den er ikke nyttig her.

b) La $f(x)=\sqrt{x}$. Vis at det ikke finnes en konstant $K$ slik at $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$.

La $y=0$ og $x>0$. Da vil $|\frac{\sqrt{x}}{x}|=\frac{1}{\sqrt{x}}\to \mathrm{\infty }$ når $x\to 0$. Dermed fins ingen $K$ som oppfyller ulikheten.

Hvorfor strider ikke dette mot a)

Fordi $f^{\prime }(0)$ ikke eksisterer i b), dermed er ikke alle forutsetningene i a) oppfylt.

[Emilga]

Det er riktig som du sier at middelverdisetningen bare krever at $f^{\prime }$ er kontinuerlig på $(a,b)$. Men siden dette intervallet er åpent (evt. halv-åpent), så har vi ingen garanti for at $f^{\prime }$ har en veldefinert maksverdi på dette intervallet.

Middelverdisetningen gir oss:
$$|f(x)-f(y)|=|f^{\prime }(c)|\cdot |x-y|$$
Dersom vi velger $K$ slik at:
$$K=\underset{c\in (0,\mathrm{\infty })}{max}|f^{\prime }(c)|$$
Så kan vi skrive:
$$|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$$
Men $K$ er ikke veldefinert, siden:
$$\underset{c\in (0,\mathrm{\infty })}{max}|f^{\prime }(c)|=+\mathrm{\infty }$$
når $f(x)=\sqrt{x}$.


Dersom $f^{\prime }$ var kontinuerlig på et lukket intervall $[a,b]$ så vil den alltid ha en veldefinert maksverdi. (Extreme value theorem.)


Vi kan videre bevise at uansett hvilken verdi av $K$ vi velger, så finnes det verdier for $x$, og $y$ som bryter ulikheten.

Anta det finnes en $K>0$ slik at $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$ for alle $x$, og $y$.

Da kan vi velge $y=0$, og ulikheten burde fortsatt være oppfylt for alle verdier av $x$:

$$|f(x)|\le K|x|$$

$$|\sqrt{x}|\le K|x|$$

$$\frac{1}{|\sqrt{x}|}\le K$$

Men dersom vi velger $x<\frac{1}{K^2}$, så vil:

$$\frac{1}{|\sqrt{x}|}>K$$, som bryter ulikheten.

Altså finnes det ingen $K$ slik at ulikheten er oppfyllt for alle $x$, $y$.

EDIT: Snipet av Gustav!

[pederlh]

Tusen takk til begge to for svarene deres! Forstår mye mer nå. Kult at ekstremalverdisetningen også dukker opp i dette beviset