Hei, litt usikker på denne:
lim
x -> uendelig = (sqrt(x^2 + x) - sqrt(x^2+ax)) = 7
Tenkte først å gange med konjugaten til (sqrt(x^2 + x) - sqrt(x^2+ax) både oppe og nede eller på begge sider. Men føler jeg ikke kommer noen vei.
Grenseverdier
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Eller faktisk:
a = -13.00, om man bruker glider for a og ser at f(x) går mot 7 når x går mot uendelig.
a = -13.00, om man bruker glider for a og ser at f(x) går mot 7 når x går mot uendelig.
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Nå er
$\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax}$
$= \frac{\Big( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \Big ) \Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{(x^2 + x) - (x^2 + ax)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{(1 - a)x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{1 - a}{\frac{1}{x}{\Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}}$,
som gir
$(1) \;\; \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} = \frac{1 - a}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}}}$.
Det faktum at
$\lim_{x \rightarrow\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}} = \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{x^2}} = 2\sqrt{1 + 0} = 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$,
hvilket følge (1) innebærer at
$\lim_{x \rightarrow \infty} \Big ( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \, \Big ) = \frac{1 - a}{2}$.
Dermed må
$\frac{1 \: - \: a}{2} = 7$,
som er en likning som har løsningen
$a = 1 - 2 \cdot 7 = 1 - 14 = -13$.
$\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax}$
$= \frac{\Big( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \Big ) \Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{(x^2 + x) - (x^2 + ax)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{(1 - a)x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{1 - a}{\frac{1}{x}{\Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}}$,
som gir
$(1) \;\; \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} = \frac{1 - a}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}}}$.
Det faktum at
$\lim_{x \rightarrow\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}} = \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{x^2}} = 2\sqrt{1 + 0} = 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$,
hvilket følge (1) innebærer at
$\lim_{x \rightarrow \infty} \Big ( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \, \Big ) = \frac{1 - a}{2}$.
Dermed må
$\frac{1 \: - \: a}{2} = 7$,
som er en likning som har løsningen
$a = 1 - 2 \cdot 7 = 1 - 14 = -13$.