er det noen som kan hjelpe meg med denne oppgaven - står heilt fast. På forhånd tusen takk
a) Regn ut volumet til omdreiningslegemet som forekommer når kurven til y = e^x + e^-x roterer om x-aksen en gang i intervallet 0 ≤ x ≤ ln 2.
b) Regn ut volumet generert med omreiningen av arealet bestemt med koordinataksene og kurven y=e^x for y∈[0,e] rundt linjen x=1.
integral regning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Legg eit snitt vinkelrett x-aksen i avstand x frå origo.
Snittflata A( x ) = [tex]\pi[/tex] y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\pi[/tex]( e[tex]^{x}[/tex] + e[tex]^{-x}[/tex])[tex]^{2}[/tex]
Omdreiingslegemet har volumet
V = [tex]\int_{0}^{ln2}[/tex] A( x ) dx
b) Dreiing kring linja x = 1
Her må vi integrere langs y-aksen.
y = e[tex]^{x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] x = lny
Snittflata vinkelrett y-aksen har radius
r( y ) = 1 - lny
Snittflata A ( y ) = [tex]\pi[/tex]( 1 - lny )[tex]^{2}[/tex]
Omdreiingslekamen har volum V =[tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy
I tillegg må vi ta med volumet avsylinder med radius( r ) = høgda( h ) = 1
V( sylinder ) = [tex]\pi[/tex]
Samla volum V[tex]_{sum}[/tex] = pi + [tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy
Snittflata A( x ) = [tex]\pi[/tex] y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\pi[/tex]( e[tex]^{x}[/tex] + e[tex]^{-x}[/tex])[tex]^{2}[/tex]
Omdreiingslegemet har volumet
V = [tex]\int_{0}^{ln2}[/tex] A( x ) dx
b) Dreiing kring linja x = 1
Her må vi integrere langs y-aksen.
y = e[tex]^{x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] x = lny
Snittflata vinkelrett y-aksen har radius
r( y ) = 1 - lny
Snittflata A ( y ) = [tex]\pi[/tex]( 1 - lny )[tex]^{2}[/tex]
Omdreiingslekamen har volum V =[tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy
I tillegg må vi ta med volumet avsylinder med radius( r ) = høgda( h ) = 1
V( sylinder ) = [tex]\pi[/tex]
Samla volum V[tex]_{sum}[/tex] = pi + [tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy
Hei,
Løsningsforslag for oppg a)
Men regn først selv!
y = e^x + e^-x og roterer om x-aksen en gang i intervallet 0 ≤ x ≤ ln 2.
Vi får
V = π Integral(y^2, 0, ln(2))
= π Integral((e^x + e^-x)^2, 0, ln(2))
= π Integral((e^(2x) + 2 + e^(-2x)), 0, ln(2))
= π [(1/2) e^(2x) + 2x - (1/2) e^(-2x), 0, ln(2)]
= π ((1/2) e^(2 ln(2)) + 2 ln(2) - (1/2) e^(-2 ln(2)) - ((1/2) e^(0) + 2*0 - (1/2) e^(0))
= π ((1/2)4 + 2 ln(2) - (1/2)1/4 - 0
= π (2 - 1/8 + 2 ln(2))
= π (15/8 + 2 ln(2))
Løsningsforslag for oppg a)
Men regn først selv!
y = e^x + e^-x og roterer om x-aksen en gang i intervallet 0 ≤ x ≤ ln 2.
Vi får
V = π Integral(y^2, 0, ln(2))
= π Integral((e^x + e^-x)^2, 0, ln(2))
= π Integral((e^(2x) + 2 + e^(-2x)), 0, ln(2))
= π [(1/2) e^(2x) + 2x - (1/2) e^(-2x), 0, ln(2)]
= π ((1/2) e^(2 ln(2)) + 2 ln(2) - (1/2) e^(-2 ln(2)) - ((1/2) e^(0) + 2*0 - (1/2) e^(0))
= π ((1/2)4 + 2 ln(2) - (1/2)1/4 - 0
= π (2 - 1/8 + 2 ln(2))
= π (15/8 + 2 ln(2))
[tex][/tex]
[tex]2\pi\int_{0}^{1}[/tex](1-x)e^xdx
Man får et litt lettere integral å håndtere hvis man summerer sylinderskall rundt aksen x=1 og sylindrenes radius varierer fra 0 til 1:Mattegjest skrev:Legg eit snitt vinkelrett x-aksen i avstand x frå origo.
Snittflata A( x ) = [tex]\pi[/tex] y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\pi[/tex]( e[tex]^{x}[/tex] + e[tex]^{-x}[/tex])[tex]^{2}[/tex]
Omdreiingslegemet har volumet
V = [tex]\int_{0}^{ln2}[/tex] A( x ) dx
b) Dreiing kring linja x = 1
Her må vi integrere langs y-aksen.
y = e[tex]^{x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] x = lny
Snittflata vinkelrett y-aksen har radius
r( y ) = 1 - lny
Snittflata A ( y ) = [tex]\pi[/tex]( 1 - lny )[tex]^{2}[/tex]
Omdreiingslekamen har volum V =[tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy
I tillegg må vi ta med volumet avsylinder med radius( r ) = høgda( h ) = 1
V( sylinder ) = [tex]\pi[/tex]
Samla volum V[tex]_{sum}[/tex] = pi + [tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy
[tex]2\pi\int_{0}^{1}[/tex](1-x)e^xdx