Trigonometri

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
geil

Hei!
Har ei eksamensoppgåve der eg skal derivere L (h)

Friksjonsoverflata er minst når lengda L er minst.

d) Bruk den deriverte til å fastsetje djupna h og solebreidda a slik at kanaltverrsnittet blir optimalt.

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan 63,5° + 2h/( cos⁡〖63,5°〗 )

Har derivert L (x) og fått følgande, nokon som får det same ?

Lʹ (h) = (0 - 31,25)/( h^2 ) - h · (1 – tan2 63,5°) + tan 63,5° + (2 · cos⁡〖63,5°〗 - 2h · (〖- sin〗⁡〖63,5°)〗 )/( 〖cos〗^2 63,5° )
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

Kan du gjengi hele oppgaven?
geil

Hei!
Her er heile oppgåva
Med mine utrekningar sålangt til eg står fast?

Oppgåve 1.95
(Eksamen)
Når vatn strøymer i ein kanal, er det ofte viktig at friksjonen er liten. Vi får vite at «eit kanaltverrsnitt er optimalt når friksjonsoverflata er minst mogleg».

Figuren nedanfor viser tversnittet av ein kanal. Tverrsnittet har form som eit trapes. Kanalen skal transportere 25 m3 vatn per sekund, og vatnet renn med farten 0,8 m/s.



a) Vis at arealet F av tverrsnittet må vere

F = 31,25 m2

Volumstraumlikninga: q_V = A·v der A = areal og v = farta

q_V = 25 m^3/s

v = 0,8 m/s

F = (25 m^3/s )/(0,8 m/s) = (25 m^3 )/(0,8 m) = 31,25 m2

b) Vis at solebreidda a kan uttrykkast

F = 31,25 m2 = (a + b_1)/2 · h
b_1 = (2 F)/h - a

tan 63,5° = b/h ⇒ b = h · tan 63,5°
tan 63,5° = c/h ⇒ c = h · tan 63,5°
b_1 = b + a + c ⇒ b_1= a + 2h · tan 63,5°

(2 F)/h - a = a + 2h · tan 63,5°
2a = (2 F)/h - 2h · tan 63,5° │: 2
a = 31,25/( h ) - h · tan 63,5°

der h er djupna i tanken. Sjå figuren.
Vi set lengda L = AB + BC + CD.
Lengda L kan skrivast som ein funksjon av h

c) Vis at

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan 63,5° + 2h/( cos⁡〖63,5°〗 )

L (h) = AB + BC + CD
BC = a = 31,25/( h ) - h · tan 63,5°
cos 63,5° = h/AB ⇒ AB = h/(cos 63,5°)
cos 63,5° = h/CD ⇒ CD = h/(cos 63,5°)
AB = CD = h/(cos 63,5°)
AB + CD = 2h/(cos 63,5°)

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan 63,5° + 2h/( cos⁡〖63,5°〗 )

Friksjonsoverflata er minst når lengda L er minst.

d) Bruk den deriverte til å fastsetje djupna h og solebreidda a slik at kanaltverrsnittet blir optimalt.

Kvotient: f (x) = (g (x))/( h (x) ) ⇒ f ʹ (x) = (gʹ (x)·h (x) – g (x)·h ʹ (x) )/( (h (x))^2 )
Produkt: f (x) · g(x) = f (x) · g ʹ (x) + f ʹ (x) · g (x)
Tangens: f (x) = tan x ⇒ f ʹ (x) = 1/( 〖cos〗^2 x ) eller f ʹ (x) = 1 – tan2 x
Cosinus: f (x) = cos x ⇒ f ʹ (x) = - sin x

Friksjonsoverflata er minst når lengda L er minst.

d) Bruk den deriverte til å fastsetje djupna h og solebreidda a slik at kanaltverrsnittet blir optimalt.

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan 63,5° + 2h/( cos⁡〖63,5°〗 )

Lʹ (h) = (0 - 31,25)/( h^2 ) - h · (1 – tan2 63,5°) + tan 63,5° + (2 · cos⁡〖63,5°〗 - 2h · (〖- sin〗⁡〖63,5°)〗 )/( 〖cos〗^2 63,5° )

Lʹ (h) = 0
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Hvorfor deriverer du tangens i $h \cdot \tan 63,5^\circ$? Tangens inneholder jo ikke $h$ og er jo egentlig bare ett tall ($\tan 63.5^\circ \approx 2.00569\ldots$) ser ut som du tenker på å derivere $\tan h$ i stedet. Den deriverte blir jo bare $(h \cdot \tan 63,5^\circ)' = \tan 63,5^\circ$ tilsvarende får du for sisteleddet. Da skal det bli litt enklere å se når uttrykket er null ;-)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan(63,5°) + 2h/cos⁡(63,5°)

L'(h) = -31,25 /h^2 - tan(63,5°) + 2cos⁡(63,5°)/(cos⁡(63,5°))^2 = -31,25 /h^2 - tan(63,5°) + 2/cos⁡(63,5°)

husk at tan(63,5°) og cos⁡(63,5°) er konstanter og at den deriverte av en konstant er lik null!
altså:
(cos(x))' = -sin(x)
men
(cos⁡(63,5°))' = 0

vi setter
L'(h) = -31,25 /h^2 - tan(63,5°) + 2/cos⁡(63,5°) = 0
31,25 /h^2 = 2/cos⁡(63,5°) - tan(63,5°)
h^2 = 31,25/(2/cos⁡(63,5°) - tan(63,5°))
h = rot (31,25/(2/cos⁡(63,5°) - tan(63,5°)))
h = 3,55

og
L(3,55) = 31,25/( 3,55 ) - 3,55 · tan(63,5°) + 2*3,55/cos⁡(63,5°)
L(3,55) = 17,59

Se også vedlegg der oppgaven er løst i CAS og Geogebra
Vedlegg
Kanal.odt
(47.16 kiB) Lastet ned 170 ganger
Svar