Det er greit. Jeg benytter meg av de hintene jeg skrev over, med én endring. Jeg skrev nemlig noe feil!!
[tex]e^{2x} \neq e^2e^x[/tex], men heller [tex]e^{2x} = (e^x)^2[/tex]
Her følger mitt løsningsforslag:
Vi skal finne:
[tex]\int _0 ^{ln \, 4} f(x) dx[/tex]
der
[tex]f(x) = \frac{e^{2x}-5e^x+4}{e^{2x}} = 1 - \frac{5}{e^x} + \frac{4}{e^{2x}}[/tex]
Dermed blir integralet vårt seende slik ut:
[tex]\int _0 ^{ln \, 4} f(x) dx = \int _0 ^{ln \, 4} 1 dx - \int _0 ^{ln \, 4} \frac{5}{e^x} dx + \int _0 ^{ln \, 4} \frac{4}{e^{2x}} dx [/tex]
Vi løser hvert enkelt av de tre integralene, ett om gangen:
1) [tex]\int _0 ^{ln \, 4} 1 dx = [x]_0 ^{ln \, 4} = ln \, 4 - 0 = ln \, 4 [/tex]
2) [tex]\int _0 ^{ln \, 4} \frac{5}{e^x} dx = 5 \int _0 ^{ln \, 4} \frac{1}{e^x} dx = 5[- \frac{1}{e^x}]_0 ^{ln \, 4} = -5[ \frac{1}{e^x}]_0 ^{ln \, 4} = -5( \frac{1}{4} - \frac{1}{1}) = \frac{-5}{4} + 5 = \frac{15}{4}[/tex]
3) [tex]\int _0 ^{ln \, 4} \frac{4}{e^{2x}} dx = 4 \int _0 ^{ln \, 4} \frac{1}{(e^x)^2} dx = 4[ - \frac{1}{2(e^{x})^2}]_0 ^{ln \, 4} = -2[\frac{1}{(e^{x})^2}]_0 ^{ln \, 4} = -2(\frac{1}{4^2} - \frac{1}{1}) = \frac{-2}{16} + 2 = \frac{15}{8}[/tex]
Nå erstatter vi de bestemte integralene med delsvarene vi har fått (og husker på fortegnene):
[tex]\int _0 ^{ln \, 4} f(x) dx = ln \, 4 - \frac{15}{4} + \frac{15}{8} = ln \, 4 + \frac{15-30}{8} = \underline {ln \, 4 - \frac{15}{8}}[/tex].
Svaret kan også skrives [tex]2ln \, 2 - \frac{15}{8}[/tex].
Dette blir et negativt tall, siden [tex]f(x) < 0 \; for \; x \in <0, ln \, 4>[/tex].